단위원

환론에서, 곱셈에 대한 항등원을 '단위원'(單位元, unity)이라고 부르기도 합니다.

단위원(單位圓,unit circle)은 반지름이 1인 원이다. 특별히 해석기하학에서는 원점 ${\displaystyle (0,0)}$ 을 중심으로 하는 반지름이 1인 원을 말한다. 즉, 원점으로부터 거리가 1 인 점의 자취이다.

많은 경우 단위원은 ${\displaystyle S^{1}}$으로 표시한다. 이것은 일반적인 ${\displaystyle n}$ 차원 구면(sphere) 개념 중 ${\displaystyle n=1}$의 경우를 뜻한다.

${\displaystyle S^{1}=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}|x^{2}+y^{2}=1\right\}.}$

단위원 위의 임의의 한 점의 삼각매개화

 이 부분의 본문은 삼각함수입니다.

단위원 위의 임의의 점 ${\displaystyle P}$를 극좌표를 이용하여 나타내는 경우, ${\displaystyle (r,\theta )=(1,\theta )}$ (${\displaystyle \theta }$: 점 ${\displaystyle P}$와 원점을 이은 반직선 ${\displaystyle OP}$와 ${\displaystyle x}$축이 이루는 각, ${\displaystyle 0}$ ≤${\displaystyle \theta }$ ≤ ${\displaystyle 2\pi }$)으로 나타낼 수 있다. 또한 이 점을 직교좌표를 이용하여 표현하는 경우, 이 점의 좌표는 ${\displaystyle (x,y)}$로 나타낼 수 있다.

점 ${\displaystyle P}$에 의해 만들어지는 직각삼각형

점 ${\displaystyle P}$에 의해 만들어지는 직각삼각형에 대해, 삼각함수 중 사인 함수와 코사인 함수의 정의를 적용하면 ${\displaystyle sin\theta ={\frac {y}{r}},cos\theta ={\frac {x}{r}}}$으로 나타낼 수 있다.

단위원의 경우, 원점으로부터의 거리 ${\displaystyle r=1}$이므로 ${\displaystyle y=sin\theta ,x=cos\theta }$로 정리할 수 있다.

이와 같은 방식으로 삼각함수의 정의를 이용하여 단위원 위의 모든 점을 '원점으로부터의 거리(${\displaystyle r}$)'와 '${\displaystyle x}$축의 양의 방향과 이루는 각도(${\displaystyle \theta }$)'로 나타내는 것을 '단위원의 삼각매개화'라 한다.

단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화

단위원 위의 임의의 한 점 ${\displaystyle P}$를 유리매개화 하기 위해, 기울기가 ${\displaystyle t}$(${\displaystyle t}$: 임의의 실수)이고 단위원 위의 한 점인 ${\displaystyle (-1,0)}$을 지나는 직선 ${\displaystyle l}$을 생각한다. 이 경우, 직선 ${\displaystyle l}$은 단위원과 2개의 교점을 갖는다. 하나는 ${\displaystyle (-1,0)}$, 다른 하나는 유리매개화를 하려고 하는 임의의 점 ${\displaystyle P}$가 된다. 따라서 단위원의 원의 방정식과 직선 ${\displaystyle l}$의 방정식을 연립하여 점 ${\displaystyle P}$의 좌표를 찾아낸다면, 임의의 실수 ${\displaystyle t}$에 대해 원 위의 모든 점(단, ${\displaystyle (-1,0)}$은 제외)을 유리매개화 할 수 있다.

단위원의 원의 방정식: ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$

직선${\displaystyle l}$의 직선의 방정식: ${\displaystyle y=tx+t.}$

직선${\displaystyle l}$의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 변수 ${\displaystyle y}$를 소거하면 ${\displaystyle x}$에 대한 이차방정식을 얻을 수 있다.

${\displaystyle x^{2}+(tx+t)^{2}=1.}$

${\displaystyle \Rightarrow x^{2}+t^{2}x^{2}+2t^{2}x+t^{2}-1=0.}$

${\displaystyle \Rightarrow (1+t^{2})x^{2}+2t^{2}x+(t^{2}-1)=0.}$

얻어낸 ${\displaystyle x}$의 이차방정식을 근의 공식을 이용하여 근을 찾아내면 그것이 점 ${\displaystyle P}$의 ${\displaystyle x}$좌표가 된다.

${\displaystyle x={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-(t^{2}-1)(t^{2}+1)}}}{(1+t^{2})}}={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-(t^{4}-1)\ }}}{(1+t^{2})}}={\frac {-t^{2}\pm {\sqrt {t^{4}-t^{4}+1}}}{(1+t^{2})}}={\frac {t^{2}\pm 1}{1+t^{2}}}.}$

${\displaystyle \therefore x=-1}$ 또는 ${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.}$

따라서, 점 ${\displaystyle P}$의 ${\displaystyle x}$좌표는 ${\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$이다. ${\displaystyle x}$좌표를 직선 ${\displaystyle l}$의 방정식에 대입하여 ${\displaystyle y}$좌표도 찾아, 점 ${\displaystyle P}$의 좌표를 완성시키면 다음과 같다.

단위원과 직선${\displaystyle l}$의 교점: ${\displaystyle P=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$.

이와 같은 방식으로 원과 두 개의 교점을 갖는 직선을 이용하여 단위원 위의 모든 점의 좌표(단, ${\displaystyle (-1,0)}$제외, ${\displaystyle t}$가 ${\displaystyle \pm \infty }$로 발산하는 경우 점 ${\displaystyle P}$는 ${\displaystyle (-1,0)}$로 수렴한다)를 임의의 실수 ${\displaystyle t}$에 대한 식으로 나타내는 것을 '단위원의 유리매개화'라고 한다.

참고) 단위원 위의 임의의 한 점의 유리매개화를 통해 단위원과 임의의 곡선 ${\displaystyle g(x,y)}$의 교점의 개수를 구할 수 있다.

예를 들어, ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}-1,g(x,y)=0}$ 라 하자. 단, ${\displaystyle f(x,y)}$는 단위원 ${\displaystyle g(x,y)}$는 임의의 곡선이며 ${\displaystyle g(x,y)}$의 차수는 ${\displaystyle n}$이라 하자.

결론부터 말하자면, ${\displaystyle f(x,y)}$와 ${\displaystyle g(x,y)}$의 교점의 개수는 많아야 ${\displaystyle 2n}$개 이하이다.

우선, 두 곡선 ${\displaystyle f(x,y)}$와 ${\displaystyle g(x,y)}$의 교점 ${\displaystyle Q}$는 단위원의 유리매개화를 통해 ${\displaystyle (-1,0)}$을 제외한 모든 점에서 아래와 같이 유리매개화할 수 있다.

${\displaystyle Q=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

이 때, ${\displaystyle (x,y)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$로 놓을 수 있고 ${\displaystyle g(x,y)=g\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=0}$이다.

여기서 ${\displaystyle g(x,y)=g\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)=0}$을 만족하는 ${\displaystyle t}$의 개수가 교점의 개수이다.

따라서 우리가 알고 싶은 것은 ${\displaystyle t}$의 차수(degree)이므로, ${\displaystyle t}$에 대해 정리한 각 항의 일반적인 형태는 다음과 같다.

${\displaystyle C}$_ij${\displaystyle ({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}})^{i}}$${\displaystyle ({\frac {2t}{1+t^{2}}})^{j}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle C}$_ij${\displaystyle {\frac {(1-t^{2})^{i}(2t)^{j}}{(1+t^{2})^{i+j}}}}$

(단, ${\displaystyle C}$_ij는 각 항의 계수이며, i+j<n이다.)

그리고 위 식 우변에 ${\displaystyle (1+t^{2})}$^i+j을 곱하면,

${\displaystyle C}$_ij${\displaystyle (1-t^{2})^{i}(2t)^{j}(1+t^{2})^{n-i+j}}$

그러므로 차수(${\displaystyle degree}$)를 생각하면 다음과 같다.

${\displaystyle 2i+j+2n-2(i+j)}$

${\displaystyle =2n-j<2n}$

따라서 ${\displaystyle t}$의 차수가 ${\displaystyle 2n}$보다 작으므로 단위원과 임의의 곡선 ${\displaystyle g(x,y)}$의 교점의 개수는 많아야 ${\displaystyle 2n}$개 이하이다.

복소평면의 단위원

복소평면상의 단위원은 절댓값이 1 인 복소수의 자취

{z ∈ C | |z| = 1} = {exp(iθ) | 0 ≤ θ < 2π}

가 된다 (exp는 자연대수의 밑인 e 을 밑으로 하는 복소변수 지수함수). 이 집합은 복소수의 통상의 곱에 관해서 닫혀 있고 군(群, group)을 이루어 원주군 (circle group)으로 불리기도 한다. 이것은 또 1차원의 유니타리 군으로 불리는 리 군이며 U(1)라고 표시한다.

같이 보기

• 삼각함수
• 단위정육면체
• 단위구
• 단위정사각형