연속 함수
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위상수학과 해석학에서 연속 함수(連續函數, 문화어: 련속함수, 영어: continuous function, continuous map)는 정의역의 점의 ‘작은 변화’에 대하여, 치역의 값 역시 작게 변화하는 함수이다. 즉, 변수가 연속적으로 변할 때 함숫값도 연속적으로 변하는 함수이다. 이는 함숫값에 갑작스러운 변화가 생기지 않는다는 것을 의미한다. 더 정확하게는, 임의의 작은 함숫값의 변화에 대해, 충분히 작은 범위 안에 있는 변수의 함숫값이 그 변화보다 작도록 할 수 있을 때 함수가 연속이라고 한다. 연속이 아닌 함수는 불연속 함수(영어: discontinuous function)라고 한다. 예를 들어 성장하는 중인 나무의 특정 시각 에서의 높이가
라고 하면 함수
는 연속 함수로 볼 수 있다. 반면 특정 시각
에 은행 계좌에 들어있는 돈을
라고 하면 함수
은 돈을 넣거나 뺄 때마다 순간적으로 변하므로 불연속 함수로 볼 수 있다. 19세기까지 수학자들은 다소 직관적인 방식에 의존하여 연속이라는 개념을 사용하였지만, 이후 소위 엡실론-델타 논법을 사용하여 연속을 엄밀하게 정의하였다.
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연속 함수는 실수 집합 또는 복소수 집합 사이의 함수에 대하여 정의할 수 있으며, 보다 일반적으로 임의의 거리 공간 또는 위상 공간 사이의 연속 함수를 정의할 수 있다. 두 집합 사이의 함수 가운데 어떤 것들이 연속 함수인지는 집합 위에 정의된 위상에 따라 다르다. 이를테면, 스콧 연속 함수는 스콧 위상을 부여한 원순서 집합 사이의 연속 함수를 일컫는다. 다른 한편, 정의역이나 공역의 거리 구조를 바꾸더라도 위상이 변하지 않는다면 연속 함수의 개념은 변하지 않는다.
연속 함수 조건의 더 강한 형태로는 균등 연속 함수나 립시츠 연속 함수 따위가 있다. 다만, 이 조건들을 정의하려면 위상 공간 구조만으로는 부족하다. 균등 연속 함수의 정의역과 공역은 적어도 균등 공간 구조를 갖추어야 하며, 립시츠 연속 함수가 정의되기 위해서는 거리 공간 구조가 필요하다.