스콧 위상

일반위상수학 및 순서론에서 스콧 위상(영어: Scott topology)은 임의의 원순서 집합 위에 정의할 수 있는 위상의 하나이다.

정의

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle U\subseteq P}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 열린집합(영어: Scott-open set)이라고 한다.

• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • ${\displaystyle U}$는 상집합이다.
  • 임의의 상향 집합 ${\displaystyle D\subseteq P}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \sup D\in U}$라면, ${\displaystyle D\cap U\neq \varnothing }$이다. (${\displaystyle U}$가 상집합이므로, ${\displaystyle \sup D\in U}$인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
• 스콧 닫힌집합의 여집합이다.

마찬가지로, 원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 부분 집합 ${\displaystyle F\subseteq P}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 스콧 닫힌집합(영어: Scott-closed set)이라고 한다.

• 다음 두 조건을 만족시킨다.
  • ${\displaystyle U}$는 하집합이다.
  • 임의의 상향 집합 ${\displaystyle D\subseteq P}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle D\subseteq F}$이며, ${\displaystyle \sup D}$가 존재한다면, ${\displaystyle \sup D\in F}$이다. (${\displaystyle F}$가 하집합이므로, ${\displaystyle \sup D\in F}$인지 여부는 상한의 선택과 무관하다.)
• 스콧 열린집합의 여집합이다.

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$의 스콧 열린집합들의 집합은 ${\displaystyle P}$ 위의 위상을 이룬다. 이를 ${\displaystyle P}$의 스콧 위상이라고 한다.

성질

스콧 위상에 대한 연속 함수

두 원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim _{P})}$, ${\displaystyle (Q,\lesssim _{Q})}$ 사이의 함수 ${\displaystyle f\colon P\to Q}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 ${\displaystyle f}$를 스콧 연속 함수(영어: Scott-continuous function)라고 한다.

• 정의역과 공역 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 연속 함수이다.
• (상향 집합의 상한의 보존) 임의의 상향 집합 ${\displaystyle D\subseteq P}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle \sup D}$가 존재한다면, ${\displaystyle f(\sup D)=\sup f(D)}$

스콧 연속 함수는 항상 증가함수이다.

함자성

스콧 위상은 원순서 집합과 스콧 연속 함수의 범주 ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset \operatorname {Proset} }$와 위상 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Top} }$ 사이의 함자

${\displaystyle \Sigma \colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Top} }$

를 정의한다.

곱과의 호환

위 함자는 연속 dcpo의 범주 ${\displaystyle \operatorname {ContDcpo} }$와 콜모고로프 공간의 범주 ${\displaystyle \operatorname {Kolm} }$ 사이로 제한시켰을 때, 유한 곱을 보존한다. 보다 일반적으로, 임의의 dcpo ${\displaystyle (P,\leq _{P})}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{[1]:197, Theorem II-4.13}

• 임의의 dcpo ${\displaystyle (Q,\leq _{Q})}$에 대하여, 다음 두 위상이 일치한다.
  • ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle Q}$의 직접곱 ${\displaystyle P\times Q}$의 스콧 위상
  • ${\displaystyle P}$와 ${\displaystyle Q}$의 스콧 위상의 곱위상
• ${\displaystyle P}$의 스콧 열린집합들의 완비 헤이팅 대수는 연속 완비 헤이팅 대수이다.

같이 보기

• 상위상