해석학 및 위상수학에서 극한(極限, 영어: limit) 또는 극한값(極限-)은 수열이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 기호는
. 수렴(收斂, 영어: convergence)은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. 발산(發散, 영어: divergence)은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한은 그물의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, 함수의 극한은 필터의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물 사이의 대응 관계에 따라, 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다.
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이 문서는 극한의 일반적인 정의에 관한 것입니다. 수열의 경우에 대해서는
수열의 극한 문서를, 함수의 경우에 대해서는
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이 문서는 해석학적 극한에 관한 것입니다. 범주론적 극한에 대해서는
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필터
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 위상 공간
![{\displaystyle X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
의 부분 집합들의 필터 기저 ![{\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30217d45aa45128c9d3ea2c025d670e479429831)
![{\displaystyle x\in X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
만약 다음 조건이 성립한다면 필터 기저
가 점
로 수렴한다(영어: the filter base
converges to the point
)고 하며,
를
의 극한이라고 한다. 이를
라고 쓴다.
. 즉, 임의의 근방
에 대하여,
인
가 존재한다. (여기서
는
의 근방 필터이며,
는
의 상폐포다.)
다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면
가
의 집적점(集積點, 영어: cluster point)이라고 한다.
. (여기서
는
의 폐포다.)
이며
인 필터 기저
가 존재한다.
모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
필터 기저
의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 그물
![{\displaystyle \{(b,B)\colon b\in B\in {\mathcal {B}}\}\to X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac264f2d20cf78f41c218f5b093e3f0a0884542e)
![{\displaystyle (b,B)\mapsto b}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f9920b412bc802257fc80fa736db0c5ffdd19fb)
의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서는 다음과 같다.
![{\displaystyle (b,B)\lesssim (b',B')\iff B\supset B'}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fefa15779a1056666d4b6903c268fe9d65e868a6)
그물과 점렬
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 위상 공간
![{\displaystyle X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
- 그물
![{\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}\subset X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca779bc4cb29aa3851a822025b5d1ea5053af11b)
![{\displaystyle x\in X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
만약 다음 조건이 성립한다면, 그물
가 점
로 수렴한다(영어: the net
converges to the point
)고 하며,
를
의 극한이라고 한다. 이를
라고 쓴다.
- 임의의 근방
에 대하여,
인
가 존재한다.
특히, 실수열
의 경우 이 조건은 다음과 같다.
- 임의의 양의 실수
에 대하여,
인 자연수
이 존재한다.
다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면
가
의 집적점이라고 한다.
- 임의의 근방
에 대하여,
는 공종 집합이다.
인 상향 원순서 집합
및 단조 공종 함수
가 존재한다.
이며
인 상향 원순서 집합
및 함수
가 존재한다.
모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
그물
의 극한·집적점은 그물로부터 유도되는 필터 기저
![{\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\gtrsim i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23dc81e541253668a7d11e82239c214dddd60d2d)
의 극한·집적점과 일치한다.
그물의 극한은 함수의 극한의 특수한 경우다. 구체적으로, 그물
은
꼴의 함수다.
에 한 점을 추가한 집합
위에 다음과 같은 위상을 부여하자. 모든
는 고립점이며,
의 열린 근방은 (
와)
꼴의 집합을 포함하는 집합들이다. 이 경우,
![{\displaystyle {\mathcal {D}}_{\infty }=\mathop {\uparrow } \{\{i\in I\colon i\gtrsim _{I}i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88b9bf2a3e6a0306876d7f3725bcd11b5940609)
이며, 그 그물에 대한 상
![{\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\in D\}\colon D\in {\mathcal {D}}_{\infty }\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bd746fdc2f5adb74cd0cd3586d8cb16926c2b0c)
은 그물로 유도되는 필터 기저와 같은 필터를 생성한다. 따라서,
의
에서의 함수 극한은 그물 극한과 일치한다.
위의 전순서에 의하여, 점렬은 그물의 특수한 경우다. 위상 공간 속 점렬의 극한·집적점은 그물로서의 극한·집적점이다. 점렬의 경우, 부분 점렬의 극한은 항상 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
함수
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 위상 공간
, ![{\displaystyle Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
![{\displaystyle x_{0}\in X}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b79e955b57dd7aada93b8afd459996ae941d480)
- 함수
![{\displaystyle f\colon X\setminus \{x_{0}\}\to Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62c91f65675e46f95b5010f0e1585a66ed5ccbc3)
![{\displaystyle y_{0}\in Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dcd83b337a3e862f30016d4963650da66394f7c)
그렇다면,
의 빠진 근방들의 집합족
![{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}=\{U\setminus \{x_{0}\}\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0e07bf4a2186de87bc03123fea44936cd27ee22)
은
의 부분 집합들의 필터를 이루며, 따라서 그 상
은
의 부분 집합들의 필터 기저를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 함수
가 점
에서 점
로 수렴한다(영어: the map
converges to the point
at the point
)고 하며,
을
의
에서의 극한이라고 한다. 이는
![{\displaystyle f(x)\to y_{0}\qquad (x\to x_{0})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5acc6ddc8aab8a20c7084383fe7f0fcf62bfa1dc)
라고 쓴다.
는
으로 수렴한다. 즉, 임의의 근방
에 대하여,
인 근방
이 존재한다.
특히, 실함수
의 경우, 이 조건은 다음과 같다.
- 임의의 양의 실수
에 대하여,
인 양의 실수
이 존재한다.
가 실수선일 때,
대신
![{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{-}=\{U\cap (-\infty ,x_{0})\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d091d587fb244b9dacee39172322510d4d16de0f)
![{\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{+}=\{U\cap (x_{0},\infty )\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf2987f020313b72ec613dc153cbfce063e963c)
을 사용하면
의
에서의 좌극한(左極限, 영어: left limit)·우극한(右極限, 영어: right limit)의 개념을 얻는다.
존재와 유일성
필터는 극한을 가지지 않을 수 있으며, 여러 개의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어, 무한 이산 공간 속 쌍대 유한 집합들의 필터는 집적점을 가지지 않는다. 비이산 공간의 모든 필터는 모든 점으로 수렴한다. 주어진 위상 공간의 모든 부분 집합들은 자명하게 필터를 이루며, 이는 위상 공간 속 모든 점으로 수렴한다.
위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.
특히, 콤팩트 공간의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다. 하지만 콤팩트 공간의 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 가질 필요는 없다. 이 조건은 점렬 콤팩트 공간이라고 불리며, 어느 한 조건도 다른 한 조건을 함의하지 않는다.
위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.
특히, 하우스도르프 공간 속 수렴 점렬의 극한은 유일하며, 이는 하우스도르프 조건보다 약한 조건이다. 이에 따라, 하우스도르프 공간 속 극한은 연산자의 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1252affeba265c626d4b7789fc63912dd7bab81d)
![{\displaystyle \lim _{x\in I}x_{i}=x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1417e739fcd6d6a0d4dc9ab33a1e0b84f0174a82)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c291f8d17748a5fa40d471331c2669d4a20ec5bb)
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=y_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/988c39fc2b7e15505634bf50276b8cfab3f7ce6e)
(일부 저자는 극한이 유일하지 않은 경우에도 위와 같은 표기를 사용한다.)
이중 극한
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 위상 공간
, ![{\displaystyle X_{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad47c14b8a092f182512e76c96638aea6e3bea1)
- 정칙 하우스도르프 공간
![{\displaystyle Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/961d67d6b454b4df2301ac571808a3538b3a6d3f)
- 함수
![{\displaystyle f\colon X_{1}\times X_{2}\to Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21b2d8a4cb0081abe53a71f89691f68498a65f84)
(
)
이들이 다음 두 조건 만족시킨다고 하자.
- 극한
이 존재한다.
- 임의의
에 대하여, 극한
이 존재한다.
그렇다면, 이중 극한
![{\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59672c3eec42a3e1920b6d4c037a50395ec8145c)
이 존재하며,
![{\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})=\lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daf42f7ed66a8e31944aeaf122faae9aec3b78ee)
이다.
![{\displaystyle b=\lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})\in Y}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b9ae4985f81091d50f82a7dd87df3b6a12bb4a2)
![{\displaystyle \forall x_{1}\in X\colon g(x_{1})=\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff900bf4d48a9b1fc915f81fed568cd4ccc324f)
이라고 하자. 임의의 근방
에 대하여, 근방
및
이 존재하며,
![{\displaystyle \forall x_{1}\in U_{1}\forall x_{2}\in U_{2}\colon f(x_{1},x_{2})\in V}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c49abe266e27b6169bca9efaec2526be1d03924f)
가 성립한다. 여기에
를 취하면
![{\displaystyle \forall x_{1}\in U_{1}\colon g(x_{1})\in \operatorname {cl} V}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4329f3135dd92ae758086e70619f8f1fa7ae3ca3)
를 얻는다. 정칙성에 따라,
의 닫힌 근방들은 국소 기저를 이룬다. 따라서,
![{\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}g(x_{1})=b}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e171f8cfde6df8a1a93598f986969ca8c955ec7)
이다.