수리논리학에서 무한 논리(無限論理, 영어: infinitary logic)는 무한한 논리합·논리곱·전칭 기호·존재 기호를 나타낼 수 있는 논리 체계이며, 유한 1차 논리를 일반화한다.
가 무한 정칙 기수이며,
역시 무한 기수라고 하자. 무한 논리
의 항(영어: term)들은 다음과 같다.
- 임의의 순서수
에 대하여, 변수
는 항이다.
- 자연수
에 대하여, 만약
항 연산
및 항
이 존재한다면,
은 항이다.
의 공식(영어: formula)들은 다음과 같다.
- 자연수
에 대하여, 만약
항 관계
및 항
이 존재한다면,
은 공식이다.
- (등식) 임의의 항
,
에 대하여,
는 공식이다.
- (부정) 임의의 공식
에 대하여,
는 공식이다.
- (무한 논리합) 크기가
미만인, 공식들의 집합
에 대하여, ![{\displaystyle \bigvee \Phi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d1cea4b3c54fb5cd55bb92ac17f9b6ac70bcac)
- (무한 전칭 기호) 크기가
미만인 변수들의 집합
및 공식
에 대하여, 만약
의 어느 원소도
에서 속박 변수가 아니라면,
는 공식이다.
크기가
미만인 공식들의 집합
에 대하여,
![{\displaystyle \bigwedge \Phi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24738f45f16582e2a9183f2217b3df550f3d149)
는
![{\displaystyle \lnot \bigvee \{\lnot \phi \colon \phi \in \Phi \}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b2fb2bd15a4052b530bbe8570d3a7f1c289ad3)
의 약자이다. 마찬가지로, 크기가
미만인 변수들의 집합
및
가 속박 변수로 등장하지 않는 공식
에 대하여,
![{\displaystyle \exists X\colon \phi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55082d4ced222c88c5c66adc0b627f08cc562dbc)
는
![{\displaystyle \lnot \forall X\colon \lnot \phi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceb0f1860a1d6cd26b3b055c682cf08eb56f1038)
의 약자이다. 마찬가지로,
![{\displaystyle \phi \implies \chi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624a9efa3bce376f4fc4fafd70b3b84b6012dac5)
는
![{\displaystyle \lnot \phi \lor \chi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0846d4cc1af9b84d3a927e68aba2a1d0f07d5f10)
의 약자이며,
![{\displaystyle \phi \iff \chi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/507ef5c9feab92798a821936ea7250b5d18ac232)
는
![{\displaystyle \bigwedge \{\phi \implies \chi ,\chi \implies \phi \}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459022cd72236f0e5802881776c1568f3a032595)
의 약자이다. 문장(영어: sentence)은 자유 변수가 없는 공식이다. 이론(영어: theory)은 문장들의 집합이다.
무한 논리는 (유한) 1차 논리와 마찬가지로 증명 이론과 모형 이론을 정의할 수 있다. 논리
가 다음 조건을 만족시키면, 완전 논리(영어: complete logic)라고 한다.
- 어떤 문장
이 모든 모형
에서 성립한다면,
의 증명이 존재한다.
논리
가 다음 조건을 만족시키면, 강완전 논리(영어: strongly complete logic)라고 한다.
- 임의의 이론
및 문장
에 대하여, 만약
라면
이다. 여기서
는 임의의 모형
에 대하여, 만약
라면
라는 뜻이다.
강완전성은 완전성보다 더 강한 조건이다. 즉, 모든 강완전 논리는 완전 논리이나, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
만약
가 강완전 논리라면,
는 강콤팩트 기수이다.
대표적인 무한 논리로는 다음을 들 수 있다.
. 이는 (유한) 1차 논리이며, 또한 강완전 논리이다 (괴델의 완전성 정리).
. 이는 완전 논리이지만 강완전 논리가 아니다.
무한 논리는 집합론에서 약콤팩트 기수·강콤팩트 기수 등의 큰 기수들을 정의할 때 쓰인다.