몫군
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몫군(-群, 영어: quotient group) 또는 상군(商群)은 수학의 군론에서 어떤 군의 정규 부분군의 잉여류들이 이루는 군이다. 몫공간이나 몫환과 같이 군에 동치관계를 줘서 몫을 취하는 연산이다. 예를 들어 n의 배수로 다른 요소를 식별하고 그러한 각 등급(합동류로 알려져 있음)에서 작동하는 그룹 구조를 단일 개체로 정의함으로써 추가되는 정수의 그룹에서 모듈러 산술로 n의 순환군을 얻을 수 있다.
몫군에서 항등원의 동치관계는 항상 원래 집단의 정규 부분군이며 다른 동치관계는 정확히 그 정규 부분군의 잉여류이다. 결과 몫은 으로 표기되는데 여기서
는 원래 군이고
은 정규 부분군이다. 이러한 표기 방식은 1889년에 오토 횔더에 의해 제안되어 처음 등장했다.[1] 이러한 결과 몫은 "G mod N"으로 표기하는데 여기서 "mod"는 modulo(모듈러 산술)의 줄임말이다.
몫군의 중요성은 군 준동형사상과의 관계에서 비롯된다. 1번째 동형 정리에서는 동형인 특정한 군 의 상은 항상
의 몫에 이형성이 있다고 기술하고 있다. 구체적으로는 동형인 특정한 군
의 상은
아래에 있는 핵을 나타내는
에 이형성이 있다.
몫군의 쌍대 개념은 부분군이며 이것은 더 큰 군에서 더 작은 군을 형성하는 2가지 주요한 방법이다. 모든 정규 부분군에는 그에 대응하는 몫군이 존재하는데, 이 몫군은 더 큰 군에서 부분군 요소 간의 구분을 제거함으로써 만들어진다. 범주론에서 몫군은 부분 대상의 쌍대인 몫 대상의 한 예이다.