디니 정리

미적분학에서, 디니 정리(Dini's theorem)는 콤팩트 공간 위에 정의된 실수 값 연속 함수들의 단조수열이 연속 함수로 점별 수렴한다면, 균등 수렴한다는 정리이다.

정의

${\displaystyle K}$에서 정의된 실함수열 ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

• ${\displaystyle K}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$의 컴팩트 부분집합이다. (즉, 하이네-보렐 정리에 의해 ${\displaystyle K}$는 유계인 닫힌집합이다.)
• ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$은 단조(즉, 증가거나 감소)인 연속함수열이다. (i.e., ${\displaystyle \forall x\in K,\forall n\in \mathbb {N} ,f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)}$ ${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle f_{n}(x)\geq f_{n+1}(x)}$)
• ${\displaystyle f_{n}}$이 ${\displaystyle K}$에서 연속인 (극한)함수 ${\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} }$로 점별 수렴한다. (i.e, ${\displaystyle \exists }$ continuous function ${\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} }$ such that ${\displaystyle f_{n}\rightarrow f}$ on ${\displaystyle K}$)

그렇다면, ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$이 ${\displaystyle K}$에서 ${\displaystyle f}$로 균등 수렴한다. 즉,

${\textstyle f_{n}\rightrightarrows f}$ on ${\displaystyle K}$

이다.

증명

일반성을 잃지 않고, ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$이 증가하는 연속함수열이라 하자. (만약 ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$이 감소하는 연속함수열이라면 함수의 부호를 바꿔서 생각하면 된다.) 함수 ${\displaystyle g_{n}:K\rightarrow \mathbb {R} }$을 ${\displaystyle g_{n}=f-f_{n}}$이라 정의하자. 조건에 의해 ${\displaystyle f}$와 ${\displaystyle f_{n}}$는 연속함수이므로 ${\displaystyle g_{n}}$도 연속함수이다.

먼저, 집합 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$을 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}=\left\{x\in K:g_{n}(x)<\epsilon \right\}}$이라 정의하자. 집합 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$의 정의에 의해 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}=g^{-1}(-\infty ,\epsilon )}$임을 알 수 있다. 또한 ${\displaystyle (-\infty ,\epsilon )}$는 ${\displaystyle \mathbb {R} }$에서 열린집합이고 ${\displaystyle g_{n}}$이 연속함수이므로 ${\displaystyle (-\infty ,\epsilon )}$의 역상 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}=g^{-1}(-\infty ,\epsilon )}$은 ${\displaystyle K}$에서 열린집합이다.

이제 ${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {O}}_{i}}$임을 보이기 위해 ${\displaystyle x\in K}$라 하자. 조건에 의해 ${\displaystyle f_{n}}$이 ${\displaystyle K}$에서 연속인 극한함수 ${\displaystyle f:K\rightarrow \mathbb {R} }$로 점별 수렴하므로, ${\displaystyle f_{n}(x)\rightarrow f(x)}$이다. 따라서, ${\displaystyle n\geq N}$일 때 ${\displaystyle \left\vert f_{n}(x)-f(x)\right\vert <\epsilon }$이 되도록 하는 양의 정수 ${\displaystyle N}$이 존재한다. ${\displaystyle g_{n}}$과 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$의 정의에 의해 ${\displaystyle x\in }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{N}}$임을 알 수 있으므로 ${\displaystyle x\in }$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in \mathbb {N} }{\mathcal {O}}_{i}}$이 성립한다.

따라서, 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$를 ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\left\{{\mathcal {O}}_{n}:n\in \mathbb {N} \right\}}$이라 정의하면 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$는 ${\displaystyle K}$의 열린덮개가 된다. ${\displaystyle K}$는 조건에 의해 콤팩트이므로 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$의 유한 열린 부분 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {C'}}=\left\{{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2},\cdots ,{\mathcal {O}}_{m}\right\}}$이 존재하여 ${\displaystyle K\subseteq \bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}}$이다. 특히 임의의 양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대해 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}\subseteq K}$이므로, ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}\subseteq K}$이다. 따라서, ${\displaystyle K=\bigcup _{i=1}^{m}{\mathcal {O}}_{i}}$이다. 또한 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n}}$${\displaystyle \subseteq {\mathcal {O}}_{n+1}}$임을 알 수 있으므로, 양의 정수 ${\displaystyle M=\mathrm {max} \left\{{\mathcal {O}}_{1},{\mathcal {O}}_{2},\cdots ,{\mathcal {O}}_{m}\right\}}$에 대하여 ${\displaystyle K={\mathcal {O}}_{M}}$이다.

이제, 본격적으로 증명을 마무리하면 다음과 같다. 임의의 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여 ${\displaystyle n\geq M}$이고 ${\displaystyle x\in K}$라고 하자. 그러면 ${\displaystyle x\in K={\mathcal {O}}_{M}\subseteq {\mathcal {O}}_{n}}$이므로 ${\displaystyle f(x)-f_{n}(x)<\epsilon }$이다. 또한 가정에 의해 ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$이 증가하는 연속함수열이므로, ${\displaystyle 0\leq f(x)-f_{n}(x)<\epsilon }$ 임을 알 수 있다. 따라서 ${\displaystyle \left\vert f_{n}(x)-f(x)\right\vert <\epsilon }$이다. 즉, ${\displaystyle \{f_{n}(x)\}}$이 ${\displaystyle K}$에서 ${\displaystyle f}$로 균등 수렴한다.^[1]