상 (수학)

수학에서 상(像, 영어: image)은 어떤 함수에 대한 정의역의 원소(들)에 대응하는 공역의 원소(들)이다. 반대로, 원상(原像, 영어: preimage) 또는 역상(逆像, 영어: inverse image)은 어떤 함수에 대한 공역의 원소(들)에 대응하는 정의역의 원소(들)이다.

정의

정의역이 ${\displaystyle X}$, 공역이 ${\displaystyle Y}$인 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$를 생각하자. 정의역의 원소 ${\displaystyle x\in X}$의, 함수 ${\displaystyle f}$에 대한 상은 공역의 원소 ${\displaystyle f(x)\in Y}$이다. 정의역의 부분 집합 ${\displaystyle A\subseteq X}$의, 함수 ${\displaystyle f}$에 대한 상은 공역의 부분 집합

${\displaystyle f(A)=\{f(x)\colon x\in A\}\subseteq Y}$

이다.

공역의 원소 ${\displaystyle y\in Y}$의, 함수 ${\displaystyle f}$에 대한 원상은 정의역의 부분 집합

${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\colon f(x)=y\}\subseteq X}$

이다. 이는 정의역의 원소가 아니라, 정의역의 부분 집합이라는 데 주의하자. 공역의 부분 집합 ${\displaystyle B\subseteq Y}$의, 함수 ${\displaystyle f}$에 대한 원상은 정의역의 부분 집합

${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\colon f(x)\in B\}\subseteq X}$

이다.

정의역의 상을 치역이라고 한다. 반대로, 공역의 원상은 항상 정의역이다.

상과 원상의 표기는 다음과 같이 여러 가지가 있다.

상	원상
${\displaystyle f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f[A]}$	${\displaystyle f^{-1}[B]}$
${\displaystyle f_{*}(A)}$	${\displaystyle f^{*}(B)}$
${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)}$	${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)}$

성질

합성

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ 및 ${\displaystyle g\colon Y\to Z}$에 대하여, 그 합성 ${\displaystyle g\circ f\colon X\to Z}$의 상과 원상은 다음과 같다.

${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))\qquad (A\subseteq X)}$

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))\qquad (C\subseteq Z)}$

즉, 상은 함자

${\displaystyle \operatorname {Set} \to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)}$

${\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y))}$

를 정의하며, 원상은 함자

${\displaystyle \operatorname {Set} ^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle X\to {\mathcal {P}}(X)}$

${\displaystyle (f\colon X\to Y)\mapsto (f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X))}$

를 정의한다.

단조성

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음이 성립한다.

• 만약 ${\displaystyle A\subseteq A'\subseteq X}$라면, ${\displaystyle f(A)\subseteq f(A')}$
• 만약 ${\displaystyle B\subseteq B'\subseteq Y}$라면, ${\displaystyle f^{-1}(B)\subseteq f^{-1}(B')}$

즉, 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여,

${\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$

${\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$

는 (범주로 본) 멱집합 격자 사이의 두 함자를 이룬다.

상과 원상 사이의 관계

임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• 임의의 ${\displaystyle A\subseteq X}$에 대하여,
  • ${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$
  • 만약 ${\displaystyle f}$가 단사 함수라면, ${\displaystyle f^{-1}(f(A))=A}$
• 임의의 ${\displaystyle B\subseteq X}$에 대하여,
  • ${\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}$
  • 만약 ${\displaystyle f}$가 전사 함수라면, ${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}$
• 임의의 ${\displaystyle A\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle B\subseteq Y}$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
  • ${\displaystyle f(A)\subseteq B}$
  • ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(B)}$

이에 따라, 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, ${\displaystyle f\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$와 ${\displaystyle f^{-1}\colon {\mathcal {P}}(Y)\to {\mathcal {P}}(X)}$는 서로 수반 함자이다.

${\displaystyle f\dashv f^{-1}}$

기타 성질

그 밖에도, 임의의 함수 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$에 대하여, 다음 성질들이 성립한다.

• 정의역 속의 집합족 ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여,

  ${\displaystyle f{\biggl (}\bigcup _{i\in I}A_{i}{\biggr )}=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})}$

  ${\displaystyle f{\biggl (}\bigcap _{i\in I}A_{i}{\biggr )}\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}$

• 공역 속 집합족 ${\displaystyle (B_{j})_{j\in J}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)}$에 대하여,

  ${\displaystyle f^{-1}{\biggl (}\bigcup _{j\in J}B_{j}{\biggr )}=\bigcup _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)}$

  ${\displaystyle f^{-1}{\biggl (}\bigcap _{j\in J}B_{j}{\biggr )}=\bigcap _{j\in J}f^{-1}\left(B_{j}\right)}$

• 정의역의 두 부분 집합 ${\displaystyle A,A'\subseteq X}$에 대하여,

  ${\displaystyle f(A\setminus A')\supseteq f(A)\setminus f(A')}$

• 공역의 두 부분 집합 ${\displaystyle B,B'\subseteq Y}$에 대하여,

  ${\displaystyle f^{-1}(B\setminus B')=f^{-1}(B)\setminus f^{-1}(B')}$

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Image”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pre-image”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Direct image”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Inverse image”. 《PlanetMath》 (영어).
• “Definition: image”. 《ProofWiki》 (영어).
• “Definition: preimage”. 《ProofWiki》 (영어).