물리학과 수학에서 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group)은 뉴턴 역학에서 성립하는 시공간의 대칭군이다. 시간 병진 변환과 공간의 병진 변환 · 회전 변환 밖에, 주어진 상대 속도에 대한 기준틀의 변환을 포함한다. 특수 상대성이론에서 갈릴레이 군은 푸앵카레 군으로 대체된다.
차원 공간과 1차원 시간을 갖는 공간
위의 갈릴레이 변환(Galilei變換, 영어: Galilean transformation)은 다음과 같은 꼴의 함수이다.
![{\displaystyle (t,\mathbf {x} )\mapsto (t+s,t\mathbf {v} +R\mathbf {x} +\mathbf {y} ),\;(s\in \mathbb {R} ,\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} ))}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d043b5dc128b341a412c0868b2917f457726ee1b)
이들은 함수의 합성 아래
차원 리 군을 이루며, 이를 갈릴레이 군(Galilei群, 영어: Galilean group)
이라고 한다. 갈릴레이 군은 다음과 같은 리 군 반직접곱으로 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)=\mathbb {R} ^{n+1}\rtimes \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da912034def2069dd988d547241873b92a82bd75)
여기서
은 유클리드 군이다.
는 다음과 같은 꼴의 행렬군으로 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}1&\mathbf {v} \\\mathbf {0} &R\end{pmatrix}}\colon \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n},\;R\in \operatorname {SO} (n;\mathbb {R} )\right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712fad8fd055847d1002957086ed3d076d7b691d)
그렇다면, 반직접곱에서
의
위의 작용은 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {ISO} (n;\mathbb {R} )\to \operatorname {Aut} (\mathbb {R} ^{n+1})=\operatorname {GL} (\mathbb {R} ^{n+1})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3bc02b409f2fe9ebdc9cc6204566c16440f205)
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon (t,\mathbf {x} )\mapsto {\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} \\\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}t\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t\end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a5973a43d56182efcb84978d8bcb8efc0463930)
갈릴레이 군 전체를 다음과 같이 행렬군으로 나타낼 수 있다.
![{\displaystyle \operatorname {Gal} (n+1)=\left\{{\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon R\in \operatorname {SO} (n),\;\mathbf {v} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n},\;s\in \mathbb {R} \right\}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b115c0dbbebb5d0a88fdc986324a5a8db1c0dd)
이 표현에서, 갈릴레이 군의 시공간 위의 작용은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}\colon {\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&0&\mathbf {0} \\s&1&\mathbf {0} \\\mathbf {y} &\mathbf {v} &R\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\t\\\mathbf {x} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\t+s\\R\mathbf {x} +\mathbf {v} t+\mathbf {y} \end{pmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f592009b7a360af9b37cfa1af46a3b798550bd)
갈릴레이 대수
갈릴레이 군
의 리 대수를 갈릴레이 대수(Galilei代數, 영어: Galilean algebra)
이라고 한다. 이는 구체적으로 다음과 같다. 우선, 다음과 같은 기저를 정의하자.
자세한 정보
,
...
생성원 | 기호 | 단위 |
시간 변화 | ![{\displaystyle H}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b) | [시간]−1 |
공간 병진 이동 | ( ) | [길이]−1 |
공간 회전 | ( , ) | 1 |
갈릴레이 변환 | ( ) | [시간] [길이]−1 |
닫기
그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는
가 곱해져 있다.)
![{\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=[C_{i},P_{j}]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/214f823599b156a5a2ab165bcad7897473271e1d)
![{\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1acc9fabe005d7eeedb5b6a049ba974e32f1bb4)
![{\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411259ebeba02d0482cea157f5585953480d040b)
![{\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1553247b51190a00d78baa2ba7fb1422b05b6460)
![{\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5c15080859730f8ba82b588c534682e688e6af)
갈릴레이 대수는 푸앵카레 대수와 달리 자명하지 않은 2차 리 대수 코호몰로지를 가진다.[1]:191, §Ⅳ.7
![{\displaystyle \dim \operatorname {H} ^{2}({\mathfrak {gal}}(3+1))=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b52f20f5f8ce209633e4729ac6134f67781983c)
이에 따라, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 가지며, 중심 전하
을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle [H,P_{i}]=[P_{i},P_{j}]=[J_{ij},H]=[C_{i},C_{j}]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3b43c8b76c79e5a45b05ad0216c51491c01783f)
![{\displaystyle [J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1acc9fabe005d7eeedb5b6a049ba974e32f1bb4)
![{\displaystyle [J_{ij},P_{k}]=i[\delta _{ik}P_{j}-\delta _{jk}P_{i}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/411259ebeba02d0482cea157f5585953480d040b)
![{\displaystyle [J_{ij},C_{k}]=i[\delta _{ik}C_{j}-\delta _{jk}C_{i}]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1553247b51190a00d78baa2ba7fb1422b05b6460)
![{\displaystyle [C_{i},H]=iP_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff5c15080859730f8ba82b588c534682e688e6af)
![{\displaystyle [C_{i},P_{j}]=iM\delta _{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab959263ef4800d7e6a374d38a137298393dc8c2)
따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 양자화한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.
3+1차원 갈릴레이 대수
의 (중심 확대의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.
우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 보편 포락 대수의 중심은 다음 원소들로 생성된다.
- 중심 전하
. 이는 질량에 해당한다.
- 질량껍질 불변량
. 이는 질량과 정지 에너지의 곱이다.
![{\displaystyle W_{ij}=MJ_{ij}+P_{i}C_{j}-P_{j}C_{i}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f17306c97e7dd0dae90c41b31acae85dbd89d9)
![{\displaystyle W_{ijk}=P_{i}J_{jk}+P_{j}J_{ki}+P_{k}J_{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4abc4b7dfc1af8200d474229f34866086cb4a4d8)
및
는 푸앵카레 군의 표현론에서의 파울리-루반스키 벡터와 유사하다.
슈어 보조정리에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 중심원들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 중심 원소의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 중심원들의 값이 각각
![{\displaystyle m}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a07d98bb302f3856cbabc47b2b9016692e3f7bc)
![{\displaystyle mE_{0}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11fa1ef749e10ea9a2842de971a51479be79cd17)
![{\displaystyle w_{ij}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3302ff355269436b43bc2fbe180303881c09321)
![{\displaystyle w_{ijk}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/784ce4fb1a439773ba524a039568e2713f64e5ea)
라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로,
은 실수이다. 물리학적으로
이어야만 한다.
유질량 표현
인 경우를 생각하자.
공간 위에 질량껍질 제약
을 가한 초곡면을 질량껍질이라고 하며, 갈릴레이 변환
는 질량껍질 위에 추이적으로 작용한다.
유도 표현 (위그너 분류) 방법을 사용하면,
의 작용의 안정자군을 고려하게 된다. 이 안정자군은
에 의해 생성되는 스핀 군
이다 (
).
인 경우, 3차원 스핀 군
의 유한 차원 유니터리 표현은 스핀
에 의하여 완전히 분류된다. 즉,
인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은
의 유니터리 표현
및 질량
, 정지 에너지
에 의하여 분류된다.
2차원 갈릴레이 군
1+1차원 갈릴레이 대수
은 3차원 실수 하이젠베르크 대수
와 동형이다. 하이젠베르크 대수의 통상적 기저
![{\displaystyle {\mathfrak {h}}(3;\mathbb {R} )=\operatorname {Span} \{x,p,\hbar \}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0064cfea6df2551265b948e426b5fbc471fe173e)
![{\displaystyle [x,p]=i\hbar }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dda495e8923de3bce36ce44894a0f55a12b291e)
![{\displaystyle [x,\hbar ]=[p,\hbar ]=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64025b3a0dc7143e30a96bbe00462dfd4aac2a4)
가 주어졌을 때, 동형은 구체적으로 다음과 같다.
![{\displaystyle C\mapsto x}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e782d447a3189250514c72e1a33687f0459cd2)
![{\displaystyle H\mapsto p}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6647a510be95b77e3a835cdd7fa9f77155d3c232)
![{\displaystyle P\mapsto \hbar }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250dddaf962343b45282294c1ef560beae654501)
이는 3차원 실수 리 대수 가운데 아벨 리 대수가 아닌 유일한 멱영 리 대수이며, 3차원 리 대수의 비안키 분류에서 II형 대수이다.
마찬가지로, 1+1차원 갈릴레이 군은 3차원 실수 하이젠베르크 군과 동형이다. 3차원 하이젠베르크 군은 3×3 상삼각 행렬로 구성되는데, 위의 행렬 표현에서 갈릴레이 변환은 하삼각 행렬로 구성된다. (상삼각 행렬과 하삼각 행렬 사이는 기저의 순서를 뒤바꾸어 변환할 수 있다.)
갈릴레이 변환은 뉴턴 역학에서 사용되는 시공간의 대칭군이다. 다만, 자기력과 같이 속도에 의존하는 힘이 존재하는 계의 경우 갈릴레이 변환을 따르지 않을 수 있다. 예를 들어, 맥스웰 방정식은 갈릴레이 변환을 따르지 않는다.
실제 세계의 시공간은 실험에 따라 갈릴레이 변환을 따르지 않고, 대신 푸앵카레 변환을 따른다. 갈릴레이 군은 푸앵카레 군의 위그너-이뇌뉘 축약(영어: Wigner–İnönü contraction)이며, 이는 광속을 무한대로 취하는 것으로 생각할 수 있다. 즉, 광속보다 매우 낮은 속도에 대해서는 갈릴레이 변환이 대략적으로 성립한다.
갈릴레이 변환의 개념은 이탈리아의 물리학자 갈릴레오 갈릴레이가 《새로운 두 과학》에서 최초로 기술하였다.[2]:191–196 특수 상대성 이론 이전에는 역학의 기본적인 원리로 당연히 여기다가, 이를 대체하는 푸앵카레 변환이 제시되자 이와 구별하기 위해 "갈릴레이 변환"이라고 부르기 시작했다.
Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1990). 《Geometric asymptotics》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 14 2판. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1633-0.