퀴네트 정리

대수적 위상수학에서 퀴네트 정리(영어: Künneth theorem)는 곱공간의 호몰로지 및 코호몰로지에 대한 정리다. 체 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 각 성분의 (코)호몰로지의 곱이다. 주 아이디얼 정역 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 꼬임 부분군을 포함하는 분할 완전열로 나타내어진다. 일반적 가환환 계수의 경우, 곱공간의 (코)호몰로지는 스펙트럼 열의 극한으로 계산할 수 있다.

정의

체 계수

${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$가 위상 공간이라고 하고, ${\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(-;K)}$가 체 ${\displaystyle K}$의 계수를 가진 특이 호몰로지라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

${\displaystyle \bigoplus _{i+j=k}\operatorname {H} _{i}(X;K)\otimes _{K}\operatorname {H} _{j}(Y;K)\cong \operatorname {H} _{k}(X\times Y;K)}$

이를 퀴네트 정리라고 한다. 이에 따라, 베티 수에 대해서는 다음이 성립한다.

${\displaystyle b_{X}(t)=\sum _{i}t^{i}\dim _{\mathbb {Q} }\operatorname {H} _{i}(X;\mathbb {Q} )}$

가 베티 수의 생성함수라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle b_{X}(t)b_{Y}(t)=b_{X\times Y}(t)}$

이다.

호몰로지 대신 코호몰로지로도 퀴네트 정리를 적을 수 있다. 코호몰로지는 호몰로지와 달리 등급환을 이룬다. 코호몰로지 환을 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }}$이라고 적으면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(X;K)\otimes _{K}\operatorname {H} ^{\bullet }(Y;K)\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(X\times Y;K)}$

여기서 좌변은 등급환의 ${\displaystyle K}$-텐서곱이다.

주 아이디얼 정역 계수

만약 계수가 체가 아닌 일반적인 가환환인 경우, 퀴네트 정리는 꼬임 때문에 더 복잡해진다.

만약 계수가 주 아이디얼 정역 ${\displaystyle R}$인 경우, 퀴네트 정리에 따르면 다음과 같은 ${\displaystyle R}$-가군의 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 0\to \bigoplus _{i+j=k}\operatorname {H} _{i}(X;R)\otimes _{R}\operatorname {H} _{j}(Y;R)\to \operatorname {H} _{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k-1}\operatorname {Tor} _{1}^{R}(\operatorname {H} _{i}(X;R),\operatorname {H} _{j}(Y;R))\to 0}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Tor} }$는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열은 분할 완전열이지만, 이 분할은 표준적(canonical)이지 않다.

마찬가지로, 주 아이디얼 정역 ${\displaystyle R}$ 계수의 코호몰로지에 대하여, ${\displaystyle R}$-가군의 짧은 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 0\to \bigoplus _{i+j=k}\operatorname {H} ^{i}(X;R)\otimes _{R}\operatorname {H} ^{j}(Y;R)\to \operatorname {H} ^{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k+1}\operatorname {Tor} _{1}^{R}(\operatorname {H} ^{i}(X;R),\operatorname {H} ^{j}(Y;R))\to 0}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Tor} }$는 Tor 함자다. 이 짧은 완전열 역시 분할 완전열이다.

호몰로지 스펙트럼 열

임의의 가환환 ${\displaystyle R}$ 계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 퀴네트 스펙트럼 열(영어: Künneth spectral sequence) ${\displaystyle E_{\bullet \bullet }^{\bullet }}$로 표현된다.^[1]:§3.1 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다.

${\displaystyle E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{R}\left(\operatorname {H} _{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} _{q_{2}}(Y;R)\right)}$

이 스펙트럼 열은 곱공간의 호몰로지로 수렴한다.

${\displaystyle E_{pq}^{2}\Rightarrow E_{pq}^{\infty }\cong \operatorname {H} _{p+q}(X\times Y;R)}$

보다 일반적으로, 위상군 ${\displaystyle G}$가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간 ${\displaystyle X}$ 및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간 ${\displaystyle Y}$가 주어졌고, ${\displaystyle Y\twoheadrightarrow Y/G}$가 ${\displaystyle G}$-주다발을 이룬다고 하자. 이 경우 ${\displaystyle G}$의 호몰로지 ${\displaystyle \operatorname {H} _{\bullet }(G;R)}$는 자연스럽게 환을 이루며, 이는 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열,

${\displaystyle E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{\operatorname {H} _{\bullet }(G;R)}\left(\operatorname {H} _{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} _{q_{2}}(Y;R)\right)}$

은 다음과 같은 ${\displaystyle G}$-곱공간의 호몰로지로 수렴한다.^[1]:§3.1

${\displaystyle E_{pq}^{2}\Rightarrow E_{pq}^{\infty }\cong \operatorname {H} _{p+q}(X\times _{G}Y;R)}$

여기서

${\displaystyle X\times _{G}Y={\frac {X\times Y}{(x,g\cdot y)\sim (x\cdot g,y)\;\forall g\in G,x\in X,y\in Y}}}$

이다. 이는 ${\displaystyle G}$가 자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.

코호몰로지 스펙트럼 열

마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.^[1]:§3.2

${\displaystyle E_{2}^{pq}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{R}\left(\operatorname {H} ^{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} ^{q_{2}}(Y;R)\right)}$

만약 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$의 코호몰로지가 각 차수에서 ${\displaystyle R}$-유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은 ${\displaystyle X\times Y}$의 코호몰로지로 수렴한다.

${\displaystyle E_{2}^{pq}\Rightarrow E_{\infty }^{pq}\cong \operatorname {H} ^{p+q}(X\times Y;R)}$

보다 일반적으로, 연속 함수 ${\displaystyle f\colon X\to B}$, ${\displaystyle g\colon Y\to B}$가 주어졌으며 ${\displaystyle g}$는 올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(B;R)}$는 ${\displaystyle X}$와 ${\displaystyle Y}$의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.

• ${\displaystyle B}$는 단일 연결 공간이다.
• ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle B}$의 코호몰로지는 각 차수에서 ${\displaystyle R}$-유한 생성 가군이다.

그렇다면 스펙트럼 열

${\displaystyle E_{2}^{pq}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\operatorname {Tor} _{p}^{\operatorname {H} ^{\bullet }(B;R)}\left(\operatorname {H} ^{q_{1}}(X;R),\operatorname {H} ^{q_{2}}(Y;R)\right)}$

은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.^[1]:§3.2

${\displaystyle E_{2}^{pq}\Rightarrow E_{\infty }^{pq}\cong \operatorname {H} ^{p+q}(X\times _{B}Y;R)}$

여기서 ${\displaystyle X\times _{B}Y}$는 범주론적 당김

${\displaystyle X\times _{B}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}}$

이다. 이는 ${\displaystyle B}$가 한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.

역사

독일의 수학자 헤르만 퀴네트(독일어: Hermann Künneth)가 1923년에 발표하였다.^[2][3]