호몰로지 스펙트럼 열
임의의 가환환
계수의 호몰로지에 대하여, 퀴네트 정리는 다음과 같은 퀴네트 스펙트럼 열(영어: Künneth spectral sequence)
로 표현된다.[1]:§3.1 퀴네트 스펙트럼 열의 2번째 쪽은 다음과 같은 Tor 함자이다.

이 스펙트럼 열은 곱공간의 호몰로지로 수렴한다.

보다 일반적으로, 위상군
가 연속적으로 오른쪽에서 작용하는 위상 공간
및 연속적으로 왼쪽으로 작용하는 위상 공간
가 주어졌고,
가
-주다발을 이룬다고 하자. 이 경우
의 호몰로지
는 자연스럽게 환을 이루며, 이는
와
의 호몰로지에 각각 오른쪽 및 왼쪽에서 작용한다. 그렇다면 스펙트럼 열,

은 다음과 같은
-곱공간의 호몰로지로 수렴한다.[1]:§3.1

여기서

이다. 이는
가 자명군일 경우 단순한 곱공간이 된다.
코호몰로지 스펙트럼 열
마찬가지로, 코호몰로지의 경우 다음과 같은 스펙트럼 열이 존재한다.[1]:§3.2

만약
와
의 코호몰로지가 각 차수에서
-유한 생성 가군이라면, 이 스펙트럼 열은
의 코호몰로지로 수렴한다.

보다 일반적으로, 연속 함수
,
가 주어졌으며
는 올뭉치를 이룬다고 하자. 그렇다면
는
와
의 코호몰로지 위에 각각 오른쪽 · 왼쪽에서 작용한다. 다음 조건들을 가정하자.
는 단일 연결 공간이다.
,
,
의 코호몰로지는 각 차수에서
-유한 생성 가군이다.
그렇다면 스펙트럼 열

은 다음과 같은 당김의 코호몰로지로 수렴한다.[1]:§3.2

여기서
는 범주론적 당김

이다. 이는
가 한원소 공간일 경우 단순한 곱공간이 된다.