초켈러 다양체

미분기하학에서 초켈러 다양체(超Kähler多樣體, 영어: hyper-Kähler manifold)는 그 접공간이 사원수의 좌표를 가진 공간의 구조를 가지는 리만 다양체이다.^[1][2]

정의

매끄러운 다양체 ${\displaystyle M}$이 주어졌을 때, 접다발의 대수

${\displaystyle \operatorname {End} (\mathrm {T} M)=\Omega ^{1}(M;\mathrm {T} M)}$

를 생각하자. 실수체 위의 결합 대수의 준동형

${\displaystyle {\mathcal {J}}\colon \mathbb {H} \to \operatorname {End} (\mathrm {T} M)}$

이 주어졌다고 하자. 만약 절댓값 1의 순허수 사원수 ${\displaystyle q\in \mathbb {H} }$, ${\displaystyle {\bar {q}}=-q=q^{-1}}$에 대하여 ${\displaystyle {\mathcal {J}}(q)}$가 항상 복소구조라면, ${\displaystyle (M,{\mathcal {J}})}$를 초복소다양체(영어: hypercomplex manifold)라고 한다. 즉, 세 복소구조

${\displaystyle {\mathcal {J}}(\mathrm {i} )=I}$

${\displaystyle {\mathcal {J}}(\mathrm {j} )=J}$

${\displaystyle {\mathcal {J}}(\mathrm {k} )=K}$

가 주어졌을 때,

${\displaystyle I^{2}=J^{2}=K^{2}=-1}$

${\displaystyle IJ=-JI=K}$

${\displaystyle JK=-KJ=I}$

${\displaystyle KI=-IK=J}$

이 성립한다. 즉, 초복소다양체 위에는 복소구조의 모듈라이 공간 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\{q\in \mathbb {H} \colon {\bar {q}}=-q=q^{-1}\}}$이 존재한다.

리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$ 위의 초복소구조 ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$ 가운데, 만약 ${\displaystyle q\in \operatorname {Im} \mathbb {H} }$, ${\displaystyle \|q\|=1}$, ${\displaystyle {\bar {q}}=-q}$에 대하여 ${\displaystyle {\mathcal {J}}(q)}$가 항상 켈러 구조라면, ${\displaystyle {\mathcal {J}}}$를 초켈러 구조라고 하며, 초켈러 구조를 갖춘 리만 다양체를 초켈러 다양체라고 한다. 즉, 초켈러 다양체 위에는 켈러 구조의 모듈라이 공간 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}=\{q\in \mathbb {H} \colon {\bar {q}}=-q=q^{-1}\}}$이 존재한다. 즉, 지표로 쓰면, 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g_{\mu \nu })}$ 위의 초켈러 구조는 구체적으로 다음과 같은 데이터로 주어진다.^[3]:§2.1

• 세 개의 (1,1)차 텐서장 ${\displaystyle J_{\nu }^{\mu i}}$ (${\displaystyle i=1,2,3}$은 ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ 좌표)

이는 다음과 같은 호환 조건을 만족시킨다.

• ${\displaystyle J_{\nu }^{\mu i}J_{\rho }^{\nu j}=-\delta ^{ij}\delta _{\rho }^{\mu }-\epsilon ^{ij}{}_{k}J_{\rho }^{\mu k}}$ (사원수 대수 및 개복소구조)
• ${\displaystyle g_{\mu \nu }J_{\mu '}^{\mu i}=-g_{\mu '\nu '}J_{\nu }^{\nu 'i}}$ (에르미트성)
• ${\displaystyle \nabla _{\mu }J_{\rho }^{\nu i}=0}$ (복소구조의 적분가능성)

이들 데이터로부터 세 개의 심플렉틱 구조

${\displaystyle \omega _{\mu \nu }^{i}=J_{\mu }^{\mu 'i}g_{\mu '\nu }}$

를 정의할 수 있다.

성질

초켈러 다양체의 (실수) 차원은 항상 4의 배수이다. 이는 켈러 다양체의 실수 차원이 항상 2의 배수인 것과 마찬가지다.

위상수학적 성질

다양체가 초켈러 다양체의 구조를 가지려면, 위상수학적으로 특수한 성질들을 만족시켜야 한다.^[4]

${\displaystyle 4n}$차원 콤팩트 초켈러 다양체의 베티 수 ${\displaystyle b_{k}}$ 및 오일러 지표 ${\displaystyle \chi (M)}$에 대하여, 다음이 성립한다.^[5]

${\displaystyle \sum _{k=0}^{4n}(-1)^{k}(6k^{2}-2n(12n+1))b_{i}=0}$

${\displaystyle b_{2k}\geq {\binom {k+2}{2}}\qquad (k\leq n)}$

${\displaystyle 4\mid b_{2k+1}\forall k}$

${\displaystyle 12\mid n\chi (M)}$

8차원 콤팩트 초켈러 다양체의 가능한 베티 수에 대해서는 많은 정보가 알려져 있다.^[6]

호지 이론적 성질

${\displaystyle 4n}$차원 콤팩트 초켈러 다양체의 호지 수 ${\displaystyle h^{p,q}}$에 대하여, 다음이 성립한다.^[5]

${\displaystyle h^{p,q}=h^{q,p}=h^{2n-p,2n-q}=h^{2n-q,2n-p}=h^{2n-p,q}=h^{2n-q,p}\qquad \forall 0\leq p,q\leq 2n}$

${\displaystyle h^{p,q}\geq h^{p+1,q-1}\forall p\geq q}$

리만 기하학적 성질

${\displaystyle 4n}$차원 초켈러 다양체의 홀로노미는 ${\displaystyle \operatorname {USp} (4n)}$의 부분군이다. 이에 따라, 모든 초켈러 다양체는 칼라비-야우 다양체이자 사원수 켈러 다양체(quaternion-Kähler manifold)이다. (칼라비-야우 다양체는 홀로노미가 ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$의 부분군인 경우고, 사원수 켈러 다양체는 홀로노미가 ${\displaystyle \operatorname {USp} (4n)\times \operatorname {USp} (4)}$인 경우다. ${\displaystyle \operatorname {USp} (4n)\subset \operatorname {SU} (4n)}$이다.)

복소기하학적 성질

초켈러 다양체 ${\displaystyle (M,\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3})}$의 임의의 한 심플렉틱 형식 ${\displaystyle \omega _{1}}$을 골라, 켈러 다양체로 여긴다고 하자. 그렇다면, 2차 복소수 미분 형식

${\displaystyle \omega _{\mathbb {C} }=\omega _{2}+\mathrm {i} \omega _{3}\in \Omega ^{2,0}(M)}$

은 정칙 미분 형식이며, 켈러 다양체 ${\displaystyle (M,\omega _{1})}$ 위의 심플렉틱 형식을 이룬다. 이를 정칙 심플렉틱 형식(영어: holomorphic symplectic form)이라고 한다. 즉, 이 경우 두 심플렉틱 형식

${\displaystyle \omega _{1}=\omega _{\mathbb {R} }\in \Omega ^{1,1}(M)}$

${\displaystyle \omega _{\mathbb {C} }\in \Omega ^{2,0}(M)}$

이 존재한다.

반대로, 칼라비-야우 정리(영어: Calabi–Yau theorem)에 따라, 정칙 심플렉틱 형식을 갖춘 콤팩트 켈러 다양체는 항상 초켈러 다양체를 이룬다. (콤팩트 조건을 생략할 수 없다.)

응용

초켈러 다양체는 8개의 초전하(4차원에서 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$)를 가진 초대칭 게이지 이론과 밀접한 관련이 있다. 예를 들어, 중력이 없을 경우, 16개의 초전하를 가진 비선형 시그마 모형의 모듈러스 공간은 초켈러 다양체를 이룬다.^[3][7] 마찬가지로, 초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(4,4)}$ 초등각 장론을 이룬다.

역사

에우제니오 칼라비가 1979년에 도입하였다.^[8] 이 논문에서 칼라비는 다음과 같이 적었다.

“

우리는 홀로노미 군이 콤팩트 군 ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ (${\displaystyle n=1,2,\dotsc }$)인 켈러 계량을 발견한다. 이는 ‘사원수 접공간 구조’라고 불리는 구조의 최초의 알려진 예인 것으로 보인다. 그러나 우리는 ‘초켈러 구조’라는 용어를 선호한다. nous allons trouver […] des métriques kàhlériennes […] dont le groupe d’holonomie est le groupe compact ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ (${\displaystyle n=1,2,\dotsc }$) […]; ce sont apparemment les premiers exemples connus de telles structures, qui ont été appelées « structures tangentielles quaternioniennes », mais pour lesquelles nous préférons l’appellation de « structures hyperkählériennes » […]

”