직교 여원 격자

순서론에서 직교 여원 격자(直交餘元格子, 영어: orthocomplemented lattice, ortholattice)는 불 대수와 유사한 여원 연산을 갖는 유계 격자이다. 그러나 불 대수와 달리 분배 격자일 필요가 없으며, 심지어 모듈러 격자도 아닐 수 있다.

정의

순서 반대 보존성의 동치 조건

유계 격자 ${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\top ,\bot )}$ 위의 함수 ${\displaystyle \lnot \colon L\to L}$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• (순서 반대 보존) 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\leq y}$라면 ${\displaystyle \lnot x\geq \lnot y}$
• (드 모르간 법칙 1) 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle \lnot (x\land y)=\lnot x\lor \lnot y}$
• (드 모르간 법칙 2) 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle \lnot (x\lor y)=\lnot x\land \lnot y}$

증명:

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 1: 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여,

${\displaystyle x\land y\leq x}$

${\displaystyle x\land y\leq y}$

이므로

${\displaystyle \lnot (x\land y)\geq \lnot x}$

${\displaystyle \lnot (x\land y)\geq \lnot y}$

이다. 따라서, 상한의 정의에 따라

${\displaystyle \lnot (x\land y)\geq \lnot x\lor \lnot y}$

이다.

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 2: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

드 모르간 법칙 1 ⇒ 순서 반대 보존: 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\leq y}$라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle x=x\land y}$

이므로

${\displaystyle \lnot x=\lnot (x\land y)=\lnot x\lor \lnot y}$

이다. 따라서

${\displaystyle \lnot x\geq \lnot y}$

이다.

드 모르간 법칙 2 ⇒ 순서 반대 보존: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

직교 여원 격자

유계 격자 ${\displaystyle (L,\land ,\lor ,\top ,\bot )}$ 위의 직교 여원(直交餘元, 영어: orthocomplementation) ${\displaystyle \lnot \colon L\to L}$은 다음 네 조건들을 만족시키는 함수이다.^{[1]:52, §II.14[2]:§2}

• (대합) 임의의 ${\displaystyle x\in L}$에 대하여, ${\displaystyle \lnot \lnot x=x}$
• (순서 반대 보존) 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\leq y}$라면 ${\displaystyle \lnot x\geq \lnot y}$
• (배중률) 임의의 ${\displaystyle x\in L}$에 대하여, ${\displaystyle \lnot x\lor x=\top }$
• (비모순율) 임의의 ${\displaystyle x\in L}$에 대하여, ${\displaystyle \lnot x\land x=\bot }$

직교 여원 격자(영어: orthocomplemented lattice)는 직교 여원이 부여된 격자이다. 이들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 직교여원 격자 사이의 직교 여원 격자 사상(영어: orthocomplemented lattice morphism) ${\displaystyle f\colon L\to L'}$은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

• 격자 사상이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여 ${\displaystyle f(x\land y)=f(x)\land f(y)}$이며, ${\displaystyle f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)}$이다.
• 임의의 ${\displaystyle x\in L}$에 대하여 ${\displaystyle f(\lnot x)=\lnot f(x)}$이다.

이 경우, 임의의 ${\displaystyle x\in L}$에 대하여

${\displaystyle f(\top )=f(x\lor \lnot x)=f(x)\lor \lnot f(x)=\top }$

${\displaystyle f(\bot )=f(x\land \lnot x)=f(x)\land \lnot f(x)=\bot }$

이므로 이는 자동적으로 유계 격자 사상이 된다.

가환성

직교 여원 격자 ${\displaystyle L}$에서, 두 원소 ${\displaystyle x,y\in L}$가 다음 조건을 만족시키면 ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle y}$와 가환한다(영어: commute)고 한다.^{[1]:52, §II.14[2]:§2}

${\displaystyle x=(x\land y)\lor (x\land \lnot y)}$

이는 ${\displaystyle x\operatorname {\mathsf {C}} y}$로 표기한다.

가환 관계는 일반적으로 대칭 관계가 아니다. 즉, ${\displaystyle x\operatorname {\mathsf {C}} y}$이라면${\displaystyle y\operatorname {\mathsf {C}} x}$일 필요는 없다.

직교 여원 격자 ${\displaystyle L}$의 두 원소 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\leq y}$라면 ${\displaystyle x\operatorname {\mathsf {C}} y}$이다.^{[1]:52, Lemma II.14.1}

직교모듈러 격자

육각형 격자의 하세 도형

직교 여원 격자 ${\displaystyle L}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 직교모듈러 격자(영어: orthomodular lattice)라고 한다.

• 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\leq y}$이라면 ${\displaystyle y\operatorname {\mathsf {C}} x}$이다 (즉, ${\displaystyle x\lor (\lnot x\land y)=y}$이다).^{[2]:§2[1]:53, Theorem II.21}
• 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\lor (\lnot x\land (x\lor y))=x\lor y}$이다.^[2]:§2
• 가환 관계는 대칭 관계이다. 즉, 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\operatorname {\mathsf {C}} y}$이라면 ${\displaystyle y\operatorname {\mathsf {C}} x}$이다.^{[2]:Proposition 2.2(2)[1]:53, Theorem II.21}
• 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\operatorname {\mathsf {C}} y}$이라면 ${\displaystyle \lnot x\operatorname {\mathsf {C}} y}$이다.^{[2]:Proposition 2.2(3)}
• 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\leq y}$이자 ${\displaystyle \lnot x\land y=\bot }$이라면 ${\displaystyle x=y}$이다.^{[2]:Proposition 2.1(2)[1]:54, Exercise II.14.7(i)}
• 임의의 ${\displaystyle x,y,z\in L}$에 대하여, ${\displaystyle x\leq y\leq z}$라면 ${\displaystyle x\lor (\lnot y\land z)=(x\lor \lnot y)\land z}$이다.^{[1]:54, Exercise II.14.7(ii)}
• 육각형 격자를 부분 격자로 갖지 않는다.^{[2]:Proposition 2.1(3)}

여기서 육각형 격자(영어: hexagon lattice)는 다음과 같은 유계 격자이다.

${\displaystyle L=\{\bot ,a,b,c,d,\top \}}$

${\displaystyle \bot \leq a\leq b\leq \top }$

${\displaystyle \bot \leq c\leq d\leq \top }$

성질

함의 관계

모든 불 대수는 직교 여원 격자이다.

직교여원 격자가 분배 격자일 필요는 없다.

직교 여원 격자 ${\displaystyle L}$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 불 대수이다.
• 분배 격자이다.
• 임의의 원소 ${\displaystyle x\in L}$에 대하여, ${\displaystyle c\land x=\bot }$이며 ${\displaystyle c\lor x=\top }$인 ${\displaystyle c\in L}$가 유일하게 존재한다. (이는 물론 ${\displaystyle \lnot x}$이다.)
• (엘칸 법칙 영어: Elkan’s law) 임의의 ${\displaystyle x,y\in L}$에 대하여, ${\displaystyle \lnot (a\land \lnot b)=b\lor \lnot a\land \lnot b}$^[3]

모든 모듈러 직교 여원 격자는 직교모듈러 격자이지만,^{[1]:54, Exercise II.14.6} (이름과 달리) 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유일성

주어진 격자 위에 직교 여원이 유일할 필요는 없다. 다만, 분배 격자 위의 직교 여원은 만약 존재한다면 유일하다.

증명:

분배 격자 ${\displaystyle L}$의 원소 ${\displaystyle x,c,c'\in L}$에 대하여

${\displaystyle x\lor c=x\lor c'=\top }$

${\displaystyle x\land c=x\land c'=\bot }$

라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle c'=c'\lor \top =c'\land (x\lor c)=(c'\land x)\lor (c'\land c)=\bot \lor (c'\land c)=c'\land c}$

이다. 따라서

${\displaystyle c'\leq c}$

이다. 마찬가지로 ${\displaystyle c\leq c'}$임을 보일 수 있으며, 따라서 ${\displaystyle c=c'}$이다.

직교 여원을 갖는 분배 격자를 불 대수라고 한다.

범주론적 성질

직교 여원 격자와 직교 여원 격자 준동형의 구체적 범주 ${\displaystyle \operatorname {OLat} }$는 대수 구조 다양체의 범주이므로 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 자유 대상이 존재한다.

예

양자 논리

 이 부분의 본문은 양자 논리입니다.

힐베르트 공간 ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$의 부분 벡터 공간들은 포함 관계에 대하여 유계 격자를 이룬다. 이 경우, 직교여원

${\displaystyle \lnot V=V^{\perp }=\{u\in {\mathcal {H}}\colon \forall v\in V\colon u\perp v\}}$

을 정의하면, 이는 직교모듈러 격자를 이룬다. "직교 여원"이라는 용어는 이에서 비롯하였다. 이 사실은 양자 논리에서 중요한 역할을 한다.

대합환

${\displaystyle (R,^{*})}$가 대합환이라고 하자. 그렇다면,

${\displaystyle L=\{r\in R\colon r=r^{*}=r^{2}\}}$

${\displaystyle r\leq s\iff r=rs\qquad (r,s\in L)}$

${\displaystyle \lnot r=1-r\qquad (r,s\in L)}$

로 놓으면, ${\displaystyle L}$은 직교모듈러 격자를 이룬다.^{[1]:54, Exercise II.14.11(a,b)} 또한, 이 경우

${\displaystyle \forall r,s\in L\colon xy=yx\iff x\operatorname {\mathsf {C}} y}$

이다.^{[1]:54, Exercise II.14.11(c)} 즉, 환으로서의 가환성 개념이 직교 여원 격자로서의 가환성 개념과 일치한다.

참고 문헌

1. Birkhoff, Garrett (1967). 《Lattice theory》. AMS Colloquium Publications (영어) 25 3판. American Mathematical Society. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
2. Bruns, Gunter; Harding, John (2000). 〈Algebraic aspects of orthomodular lattices〉 (PDF). Coecke, Bob; Moore, David; Wilce, Alexander. 《Current research in operational quantum logic: algebras, categories, languages》. Fundamental Theories of Physics (영어) 111. Springer-Verlag. 37–65쪽. doi:10.1007/978-94-017-1201-9_2. ISSN 0168-1222. 2008년 4월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 6일에 확인함.
3. 近藤 溢血 (こんどう みちろう) (2006). “On orthocomplemented lattices with Elkan’s law” (PDF). 《数理解析研究所講究録》 (영어) 1503: 10–16. |저자=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 1) (도움말)

외부 링크

• “Lattice with complements”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Ockham algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• “Orthomodular lattice”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Complemented lattice”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniquely complemented lattice”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
• “Orthomodular lattice”. 《nLab》 (영어).
• “Complemented lattice”. 《nLab》 (영어).
• Jipsen, Peter. “Ortholattices”. 《Mathematical Structures》 (영어).
• Jipsen, Peter. “Complemented lattices”. 《Mathematical Structures》 (영어).
• Jipsen, Peter. “Complemented modular lattices”. 《Mathematical Structures》 (영어).
• Jipsen, Peter. “Orthomodular lattices”. 《Mathematical Structures》 (영어).
• Jipsen, Peter. “Modular ortholattices”. 《Mathematical Structures》 (영어).
• Armstrong, John (2009년 5월 7일). “Orthogonal complements and the lattice of subspaces”. 《The Unapologetic Mathematician》 (영어).