자이베르그 이중성

양자장론에서 자이베르그 이중성(זייברג二重性, 영어: Seiberg duality)은 서로 다른 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ 초대칭 게이지 이론의 저에너지 유효 이론이 일치하는 현상이다.^{[1][2][3][4][5]} 즉, 이 두 이론들은 재규격화군 흐름에 의하여 같은 등각 장론 부동점으로 흘러가고, 이 등각 장론은 서로 다른 두 고에너지 이론에 대응하는, 서로 다른 두 개의 변수 집합으로 기술할 수 있다.

역사

나탄 자이베르그가 1994년 발견하였다.^[6]

전개

원래 이론과 이중 이론

다음과 같은 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ SU(N) 초대칭 게이지 이론을 생각하자.

• SU(N_c) 벡터 초장 (글루온과 글루이노)
• F개의 기본 표현 오른손 초장 ${\displaystyle Q}$ 및 왼손 초장 ${\displaystyle Q^{c}}$ (쿼크와 스쿼크)

이에 대응하는 이중 이론은 다음과 같은 초장을 포함하는 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle SU({\tilde {N}})}$ 초대칭 게이지 이론이다.

• 초퍼텐셜은 0이다. 특히, 쿼크 질량은 0이다.

이에 대응하는, 다음과 같은 이중 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ SU(Ñ) 초대칭 게이지 이론을 생각하자.

• SU(Ñ) 벡터 초장 (이중 글루온과 이중 글루이노)
• F개의 기본 표현 오른손 초장 ${\displaystyle Q}$ 및 왼손 초장 ${\displaystyle Q^{c}}$ (이중 쿼크와 이중 스쿼크)
• ${\displaystyle F\otimes {\bar {F}}}$ 맛깔 표현의 손지기 초장 ${\displaystyle M}$ (중간자)
• 초퍼텐셜 ${\displaystyle {\tilde {W}}=M{\tilde {Q^{c}}}{\tilde {Q}}}$.

그렇다면 자이베르그 이중성에 따라, ${\displaystyle N+{\tilde {N}}=F}$인 경우, 이 두 이론의 저에너지 재규격화군 부동점은 서로 같다.

두 이론의 대칭군은 ${\displaystyle SU(F)_{L}\times SU(F)_{R}\times U(1)_{B}\times U(1)_{R}}$로 같으며, 이에 대한 장들은 다음과 같다.

원래 이론의 기본 입자와 합성 입자

기호	설명	SU(N)	SU(F)L	SU(F)R	중입자수 U(1)B	R대칭 U(1)R
${\displaystyle A}$	글루온 (벡터 초장)	딸림표현	1	1	0	0
${\displaystyle Q}$	왼손 스쿼크 (손지기 초장)	□	□	1	1/Nc	${\displaystyle (F-N)/F}$
${\displaystyle Q^{c}}$	왼손 반스쿼크 (반손지기 초장)	□	1	□	−1/N	${\displaystyle (F-N)/F}$
${\displaystyle QQ^{c}}$	중간자 (손지기 초장)	1	□	□	0	${\displaystyle 2(F-N)/F}$
${\displaystyle \overbrace {QQ\dots Q} ^{N}}$	중입자 (손지기 초장)	1	${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{N}\square }$	1	1	${\displaystyle N(F-N)/F}$
${\displaystyle \theta }$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	1
${\displaystyle {\bar {\theta }}}$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	−1

이중 이론의 기본 입자와 합성 입자

기호	설명	SU(Ñ)	SU(F)L	SU(F)R	중입자수 U(1)B	R대칭 U(1)R
${\displaystyle {\tilde {A}}}$	이중 글루온 (벡터 초장)	딸림표현	1	1	0	0
${\displaystyle {\tilde {Q}}}$	이중 왼손 스쿼크 (손지기 초장)	□	□	1	1/(F−N)	${\displaystyle (F-{\tilde {N}})/F}$
${\displaystyle {\tilde {Q}}^{c}}$	이중 왼손 반스쿼크 (반손지기 초장)	□	1	□	−1/Ñ	${\displaystyle (F-{\tilde {N}})/F}$
${\displaystyle M}$	중간자 (손지기 초장)	1	□	□	0	${\displaystyle 2{\tilde {N}}/F}$
${\displaystyle \overbrace {QQ\dots Q} ^{\tilde {N}}}$	중입자 (손지기 초장)	1	${\displaystyle \textstyle \bigwedge ^{\tilde {N}}\square }$	1	1	${\displaystyle {\tilde {N}}(F-{\tilde {N}})/F}$
${\displaystyle \theta }$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	1
${\displaystyle {\bar {\theta }}}$	초공간 반가환 좌표	1	1	1	0	−1

초대칭 게이지 이론의 상

F개의 기본 표현 디랙 페르미온을 포함하는, 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ SU(N) 초대칭 게이지 이론을 생각하자. 이 경우, 저에너지 유효 이론은 다음과 같은 상들을 가질 수 있다.^[2]:§1.6[3]

• ${\displaystyle F=0}$인 경우 (물질이 없는 경우) 이론은 색가둠을 보이며, 낮은 에너지 자유도는 무색의 글루볼이다.
• ${\displaystyle 0<F<N}$인 경우 양자역학적인 진공이 존재하지 않는다.
• ${\displaystyle F=N}$인 경우 이론은 색가둠을 보인다.^[3]:§4.2 이 경우 저에너지 자유도는 무질량 강입자(중간자와 중입자)이다. 이 경우 손지기 대칭 SU(F)_L×SU(F)_R이 변칙적으로 부분군으로 깨지며, 정확히 어떤 군이 살아남는지는 모듈러스 공간 위치에 따라 다르다. 이 경우 이중 이론은 무질량 강입자들을 기본 입자로 하고, 게이지 대칭이 없는 손지기 유효 이론(chiral effective theory)이다.
• ${\displaystyle F=N+1}$인 경우에도 이론은 색가둠을 보인다.^[3]:§4.3 그러나 이 경우 손지기 대칭이 깨지지 않으며, 고전적 모듈러스 공간이 양자역학적인 보정을 받지 않는다. 이중 이론은 ${\displaystyle F=N}$ 경우와 마찬가지인 손지기 유효 이론이다.
• ${\displaystyle N+2\leq F\leq (3/2)N}$인 경우, 이론은 자유 자기 상에 있다. 즉, 낮은 에너지에서 결합 상수가 로그 꼴로 발산하고, 반대로 자기 결합 상수는 점근 자유성을 보인다. 낮은 에너지에서 자유 입자는 무질량 중간자와 분수 중입자수 및 자하를 가진 솔리톤이다. 즉, 중입자들이 여러 솔리톤들로 분해된다. 이 입자들은 이중 이론의 기본 입자들에 해당한다.
• ${\displaystyle (3/2)N<F<3N}$인 경우, 재규격화군 흐름에 자명하지 않은 저에너지 부동점이 존재한다. 즉, 저에너지 유효 이론은 일종의 초등각 장론이다. 이 경우 이론은 쿨롱 상에 있다. 이 경우를 등각 창(영어: conformal window)라고 한다.
• ${\displaystyle 3N\leq F}$인 경우, 이론은 점근 자유성을 상실하고, 자유 전기 상에 있다. 이 경우 쿼크, 스쿼크, 글루온, 글루이노 등 유색 입자들은 가둠을 받지 않고 자유롭다. 높은 에너지에서 이 이론은 란다우 극을 보여, 결합 상수가 무한대로 발산하며, 이론이 더 이상 일관적이지 않게 된다.

자이베르그 이중성은 ${\displaystyle N+2\leq F}$인 경우에 적용된다. 이 경우 원래 이론과 이중 이론의 상들은 다음과 같다.

맛깔 수 ${\displaystyle F}$		원래 이론의 상	이중 이론의 상	원래 저에너지 자유도	이중 저에너지 자유도
${\displaystyle N\leq F\leq N+1}$	${\displaystyle 0\leq {\tilde {N}}\leq 1}$	가둠 상	(게이지 대칭 無)	복합 입자인 무질량 중간자와 중입자	기본 입자인 중간자와 중입자
${\displaystyle N+2\leq F\leq (3/2)N}$	${\displaystyle 6\leq 3{\tilde {N}}\leq F}$	자유 자기 상	자유 전기 상	무질량 중간자, 분수 중입자수의 자기 홀극 솔리톤	이중 글루온 ${\displaystyle {\tilde {A}}}$, 중간자 ${\displaystyle M}$, 이중 쿼크 ${\displaystyle {\tilde {Q}}}$, ${\displaystyle {\tilde {Q}}^{c}}$
${\displaystyle (3/2)N<F<3N}$	${\displaystyle (3/2){\tilde {N}}<F<3{\tilde {N}}}$	쿨롱 상	쿨롱 상	${\displaystyle (A,Q,Q^{c})}$	${\displaystyle ({\tilde {A}},{\tilde {Q}},{\tilde {Q}}^{c},M)}$
${\displaystyle 6\leq 3N\leq F}$	${\displaystyle {\tilde {N}}+2\leq F\leq (3/2){\tilde {N}}}$	자유 전기 상	자유 자기 상	글루온 ${\displaystyle A}$, 스쿼크 ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle Q^{c}}$	무질량 중간자, 분수 중입자수의 자기 홀극 솔리톤

원래 이론과 이중 이론의 관계

자이베르그 이중성은 S-이중성의 일종이다. 즉, 원래 이론에서 결합 상수가 큰 경우, 이중 이론에서 결합 상수가 작게 된다. 구체적으로, 다음과 같은 대응 관계가 성립한다.

• 원래 이론의 글루온은 이중 이론에서 게이지 자기장이 된다. 즉, 이는 전기-자기 이중성의 일종이다.
• 원래 이론의 쿼크는 이중 이론의 엇호프트-폴랴코프 자기 홀극이 된다. 반대로, 이중 이론의 쿼크는 원래 이론의 자기 홀극이다.
• 합성 입자인 원래 이론의 중간자 ${\displaystyle QQ^{c}}$들은 이중 이론에서 기본 입자 ${\displaystyle M}$으로 대응된다.
• 합성 입자인 원래 이론의 중간자 ${\displaystyle Q\dots Q}$들은 이중 이론에서도 합성 입자 ${\displaystyle {\tilde {Q}}\dots {\tilde {Q}}}$가 된다. 그러나 중입자에 포함되는 쿼크 수는 물론 다르다 (원래 이론의 경우 N, 이중 이론의 경우 Ñ).
• 원래 이론의 가둠 상은 이중 이론의 힉스 상이 된다.
• 두 이론의 대역적인 대칭 ${\displaystyle SU(F)_{L}\times SU(F)_{R}\times U(1)_{B}\times U(1)_{R}}$은 일치한다. 대응되는 장들은 이 대칭에 대하여 같은 양자수들을 가진다.
• 두 이론의 게이지 대칭은 일반적으로 서로 다르다. 그러나 게이지 대칭은 낮은 에너지에서 (가둠 또는 힉스 메커니즘을 통해) 관찰할 수 없으므로 이는 일치하지 않아도 된다.

이중 이론에서 중간자가 기본 입자로 존재하는 것은 손지기 섭동 이론(영어: chiral perturbation theory, χPT)에서 기본 중간자장 ${\displaystyle U=\exp(iM)}$를 도입하는 것과 유사하다.

원래 이론이 가둠 상에 있는 경우, 이중 이론에서의 이중 글루온은 힉스 메커니즘을 통해 무게를 얻게 된다. 이는 벡터 중간자인 로 중간자에 해당한다. 로 중간자가 힉스 메커니즘을 거친, 숨겨진 맛깔 게이지 대칭에 대한 게이지 보손이라는 가설은 오래된 개념으로, 이미 1960년대부터 거론되어 왔다.^[7][8] 자이베르그 이중성을 도입하면 이를 엄밀하게 해석할 수 있다.^[9]

시험

자이베르그 이중성은 여러 가지로 확인해 볼 수 있다.

• 두 이론은 같은 대칭군을 가진다. 또한, 이들을 게이지화하려 할 경우, 이에 대한 변칙들이 일치한다 (변칙 일치 조건).
• 두 이론의 무색 합성 입자(중입자와 중간자)들이 같은 양자수들을 가진다.
• 두 이론의 모듈러스 공간이 일치한다.
• 이는 끈 이론에서 하나니-위튼 전이에서와 유사한 D-막 교차점 유효 이론으로 설명할 수 있다.

변칙 일치 조건

변칙	원래 이론	이중 이론
${\displaystyle SU(F)_{L}^{3}}$	${\displaystyle Nd^{(3)}(F)}$	${\displaystyle Nd^{(3)}(F)}$
${\displaystyle SU(F)_{L}^{2}U(1)_{B}}$	${\displaystyle d^{(2)}(F)}$	${\displaystyle d^{(2)}(F)}$
${\displaystyle SU(F)_{L}^{2}U(1)_{R}}$	${\displaystyle -{\frac {N^{2}}{F}}d^{(2)}(F)}$	${\displaystyle {\frac {-N^{2}}{F}}d^{(2)}(F)}$
${\displaystyle U(1)_{R}}$	${\displaystyle -N^{2}-1}$	${\displaystyle -N^{2}-1}$
${\displaystyle U(1)_{R}^{3}}$	${\displaystyle -2{\frac {N^{4}}{F^{2}}}+N^{2}-1}$	${\displaystyle -2{\frac {N^{4}}{F^{2}}}+N^{2}-1}$
${\displaystyle U(1)_{B}^{2}U(1)_{R}}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -2}$

다른 게이지 군의 자이베르그 이중성

SO(N)과 USp(2N) 게이지 군의 경우에도 자이베르그 이중성이 존재한다.

특수직교군

SO(N)의 경우, 자이베르그 이중성은 다음과 같다.^{[1]:182–187[5]:§5.1–5.6} 이중 초대칭 게이지 이론은 SO(Ñ) 게이지 군을 가지고, 이 경우

${\displaystyle N+{\tilde {N}}=F+4}$

이다.

원래 이론의 기본 입자와 합성 입자

기호	설명	SU(N)	SU(F)	R대칭 U(1)R
${\displaystyle A}$	글루온 (벡터 초장)	□ □	1	0
${\displaystyle Q}$	스쿼크 (손지기 초장)	□	□	${\displaystyle (F-N+2)/F}$
${\displaystyle QQ}$	중간자	1	□□	${\displaystyle 2(F-N+2)/F}$
${\displaystyle \overbrace {QQ\dots Q} ^{N}}$	중입자	1	${\displaystyle \bigwedge ^{N}\square }$	${\displaystyle N(F-N+2)/F}$
${\displaystyle A\overbrace {QQ\dots Q} ^{N-2}}$	혼합(hybrid) 중입자	1	${\displaystyle \bigwedge ^{N-2}\square }$	${\displaystyle (N-2)(F-N+2)/F}$
${\displaystyle AA\overbrace {QQ\dots Q} ^{N-4}}$	혼합(hybrid) 중입자	1	${\displaystyle \bigwedge ^{N-4}\square }$	${\displaystyle (N-4)(F-N+2)/F}$

이중 이론의 기본 입자와 합성 입자

기호	설명	SU(Ñ)	SU(F)	R대칭 U(1)R
${\displaystyle {\tilde {A}}}$	이중 글루온 (벡터 초장)	□ □	1	0
${\displaystyle {\tilde {Q}}}$	이중 스쿼크 (손지기 초장)	□	□	${\displaystyle (F-{\tilde {N}}+2)/F}$
${\displaystyle M}$	중간자 (손지기 초장)	1	□□	${\displaystyle 2({\tilde {N}}-2)/F}$
${\displaystyle \overbrace {{\tilde {Q}}{\tilde {Q}}\dots {\tilde {Q}}} ^{\tilde {N}}}$	중입자	1	${\displaystyle \bigwedge ^{\tilde {N}}\square }$	${\displaystyle {\tilde {N}}(F-{\tilde {N}}+2)/F}$
${\displaystyle {\tilde {A}}\overbrace {{\tilde {Q}}{\tilde {Q}}\dots {\tilde {Q}}} ^{{\tilde {N}}-2}}$	혼합(hybrid) 중입자	1	${\displaystyle \bigwedge ^{{\tilde {N}}-2}\square }$	${\displaystyle ({\tilde {N}}-2)(F-{\tilde {N}}+2)/F}$
${\displaystyle {\tilde {A}}{\tilde {A}}\overbrace {{\tilde {Q}}{\tilde {Q}}\dots {\tilde {Q}}} ^{{\tilde {N}}-4}}$	혼합(hybrid) 중입자	1	${\displaystyle \bigwedge ^{{\tilde {N}}-4}\square }$	${\displaystyle ({\tilde {N}}-4)(F-{\tilde {N}}+2)/F}$

이 경우 무색 입자들은 다음과 같이 대응한다.

입자	원래 이론	이중 이론
중간자	${\displaystyle QQ}$	${\displaystyle M}$
중입자	${\displaystyle Q^{N}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}^{2}{\tilde {Q}}^{{\tilde {N}}-4}}$
중입자	${\displaystyle A^{2}Q^{N-4}}$	${\displaystyle {\tilde {Q}}^{\tilde {N}}}$
중입자	${\displaystyle AQ^{N-2}}$	${\displaystyle {\tilde {A}}{\tilde {Q}}^{{\tilde {N}}-2}}$

심플렉틱 군

USp(2N)의 경우, 자이베르그 이중성은 다음과 같다.^{[1]:187–188[5]:§5.7[10]} 이중 초대칭 게이지 이론은 USp(2Ñ) 게이지 군을 가지고, 이 경우

${\displaystyle N+{\tilde {N}}=F-2}$

이다.

원래 이론의 기본 입자와 합성 입자

기호	설명	USp(2N)	SU(2F)	R대칭 U(1)R
${\displaystyle A}$	글루온 (벡터 초장)	□□	1	0
${\displaystyle Q}$	스쿼크 (손지기 초장)	□	□	${\displaystyle (F-N-1)/F}$
${\displaystyle QQ}$	중간자	1	□ □	${\displaystyle 2(F-N-1)/F}$

이중 이론의 기본 입자와 합성 입자

기호	설명	USp(2Ñ)	SU(2F)	R대칭 U(1)R
${\displaystyle {\tilde {A}}}$	이중 글루온 (벡터 초장)	□□	1	0
${\displaystyle {\tilde {Q}}}$	이중 스쿼크 (손지기 초장)	□	□	${\displaystyle (F-{\tilde {N}}-1)/F}$
${\displaystyle M}$	중간자 (손지기 초장)	1	□ □	${\displaystyle 2({\tilde {N}}+4)/F}$

심플렉틱 군의 경우 중입자가 존재하지 않는다.^[10] 이는 레비치비타 기호가 심플렉틱 형식들로 나타내어지기 때문이다. 즉, 중입자 연산자는 중간자 연산자들로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \epsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{2N}}=J_{[i_{1}i_{2}}J_{i_{3}i_{4}}\cdots J_{i_{2N-1}i_{2N}]}}$

예외적 군

예외적 리 군의 경우에 대해서는 아직 확실히 알려진 바가 없다.^[11][12]

끈 이론에서의 해석

자이베르그 이중성은 끈 이론에서 하나니-위튼 전이와 같은 꼴로 해석할 수 있다.^[13]