시그마 모형

양자장론에서 시그마 모형(σ模型, sigma model)은 두 매끄러운 다양체 사이의 매끄러운 함수를 장으로 삼는 양자장론의 한 종류다.^[1][2][3][4] 끈 이론에서 쓰인다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 유사 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g_{\mu \nu })}$ (시공간)
• 리만 다양체 ${\displaystyle (T,\eta _{ab})}$ (과녁 공간 영어: target space)

그렇다면, 임의의 매끄러운 함수 ${\displaystyle \phi \colon M\to T}$에 대한 시그마 모형 작용(영어: sigma model action)은 다음과 같다.

${\displaystyle S[\phi ]=\int _{M}{\sqrt {|\det g|}}\,g_{\mu \nu }\eta ^{ab}(\partial _{\mu }\phi )^{a}(\partial _{\nu }\phi )^{b}}$

(이것이 유한하기 위해서는 물론 ${\displaystyle \phi }$가 적절한 경계 조건을 만족시켜야 한다.)

이를 작용으로 하는 고전 장론 또는 그 양자화를 시그마 모형이라고 한다.

여기서 ${\displaystyle T}$가 유클리드 공간 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$이나 원 ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$과 같은 단순한 공간일 경우에는 이를 선형 시그마 모형(영어: linear sigma model)이라고 하고, 그렇지 않을 경우에는 비선형 시그마 모형(영어: nonlinear sigma model)이라고 한다.

대칭 공간 위의 시그마 모형

과녁 공간이 리만 대칭 공간 ${\displaystyle G/H}$인 경우를 생각하자.^[5]:§3 이 경우, ${\displaystyle G}$의 리 대수는

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subseteq {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subseteq {\mathfrak {h}}}$

와 같이 분해되며, ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ 위에는 ${\displaystyle \operatorname {Ad} (H)}$-불변 내적

${\displaystyle \eta (x,y)=\eta (\operatorname {Ad} (h)x,\operatorname {Ad} (h)y)\qquad (x,y\in {\mathfrak {m}},\;h\in H)}$

이 주어진다. 이 내적은 ${\displaystyle G/H}$ 위의 리만 계량을 정의한다.

이러한 대칭 공간 위의 시그마 모형은 ${\displaystyle H}$에 대한 게이지 대칭을 도입하여 더 깔끔하게 서술될 수 있다. 구체적으로, 대역적 대칭 ${\displaystyle G}$ 및 게이지 대칭 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M,H)}$에 대하여 변환하는 스칼라장

${\displaystyle \Phi \colon M\to G}$

${\displaystyle \Phi \mapsto g\Phi (x)h(x)^{-1}\qquad (g\in G,\;h\in {\mathcal {C}}^{\infty }(M,H))}$

를 생각하자.

이제, 스칼라장의 미분

${\displaystyle \Phi (x)^{-1}\partial _{\mu }\Phi \in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {g}})}$

을 생각하자. 대칭 공간의 경우 표준적인 분해

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$

가 주어지므로, 이를 다음과 같은 두 조각으로 분해할 수 있다.

${\displaystyle \Phi (x)^{-1}\partial _{\mu }\Phi (x)=\nabla _{\mu }\phi (x)+B_{\mu }(x)}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\phi \in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {m}})}$

${\displaystyle B_{\mu }\in \Omega ^{1}(M;{\mathfrak {h}})}$

(첫째 항의 기호 ${\displaystyle \nabla _{\mu }\phi }$는 단순히 표기에 불과하다.)

그렇다면, 이는 다음과 같이 변환한다.

${\displaystyle \Phi ^{-1}\partial _{\mu }\Phi \mapsto h\Phi \partial _{\mu }(\Phi h^{-1})=h(\Phi ^{-1}\partial _{\mu }\Phi )h^{-1}+h\partial _{\mu }(h^{-1})}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\phi \mapsto h(\nabla _{\mu }\phi )h^{-1}}$

${\displaystyle B_{\mu }(\Phi )\mapsto h(B_{\mu })h^{-1}+h\partial _{\mu }(h^{-1})=h(B_{\mu })h^{-1}-(\partial h)h^{-1}}$

따라서, 스칼라장의 운동항

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\eta _{ab}\nabla _{\mu }\phi ^{a}\nabla ^{\mu }\phi ^{b}\right)}$

를 적을 수 있다. (여기서 ${\displaystyle \eta }$는 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ 위의 내적이다.)

이 작용에는 페르미온 항을 다음과 같이 추가할 수 있다. 우선, 스피너장 ${\displaystyle \psi }$가 ${\displaystyle H}$의 유니터리 표현을 따른다고 하자.

${\displaystyle \psi (x)\mapsto h(x)\psi (x)}$

${\displaystyle {\bar {\psi }}(x)\mapsto \psi (x)h^{-1}(x)}$

그렇다면, 다음과 같은 공변 미분을 정의한다.

${\displaystyle D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +B_{\mu }\psi }$

이는 대칭에 대하여

${\displaystyle D_{\mu }\phi \mapsto hD_{\mu }\psi }$

와 같이 변환한다. 따라서, 게이지 변환에 대하여 불변인 페르미온 운동항

${\displaystyle {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }D_{\mu }\psi }$

을 적을 수 있다.

${\displaystyle B_{\mu }}$의 성분들은 ${\displaystyle \psi }$에 대하여 일종의 주접속(게이지장)으로 작용한다. 이는 궁극적으로 ${\displaystyle \Phi }$의 성분의 일부에서 유래하며, 이들은 운동항을 갖지 않아 보조장의 역할을 한다.

이러한 구성은 일반 상대성 이론에서 페르미온을 도입하기 위해 필바인을 잡는 것과 동치이다. 중력의 경우, 장은 리만 계량 ${\displaystyle g}$이며, ${\displaystyle d(d+1)/2}$개의 성분을 갖는다. 이 리만 계량을 필바인으로 표기하자.

${\displaystyle g_{\mu \nu }=e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}\eta _{ab}}$

필바인 ${\displaystyle e_{\mu }^{a}\in \operatorname {GL} (d;\mathbb {R} )}$은 임의의 ${\displaystyle n\times n}$ 가역 행렬이다. 그러나, 이는

${\displaystyle \eta _{\mu }^{a}\mapsto M_{a}{}^{b}\eta _{\mu }{}^{a}\qquad (M\in \operatorname {O} (p,q))}$

에 의하여 불변이다. 즉, 리만 계량은 동차 공간

${\displaystyle \operatorname {GL} (d;\mathbb {R} )/\operatorname {O} (p,q)\qquad (p+q=d)}$

의 원소 ${\displaystyle [e]}$에 의하여 주어지며, 이 몫공간은 올바른 수의 ${\displaystyle d(d+1)/2}$개의 성분을 가짐을 알 수 있다.

초대칭 시그마 모형

(비선형) 시그마 모형에 페르미온을 추가하여, 초대칭 시그마 모형(영어: supersymmetric sigma model)을 만들 수 있다.^[6][7][8][9] 이 경우, 가능한 과녁 공간의 모양은 초대칭의 개수에 따라 제한된다.

• 2개의 초전하 (2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(1,1)}$)인 경우, 과녁 공간은 (일반적인) 리만 다양체이다.
• 4개의 초전하(2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(2,2)}$, 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$)인 경우, 과녁 공간은 켈러 다양체이다.
• 8개의 초전하(2차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=(4,4)}$, 4차원 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$)인 경우, 과녁 공간은 초켈러 다양체이다.

초대칭 시그마 모형의 양자화에 따라, 시그마 모형의 초대칭 바닥 상태들은 켈러 다양체인 과녁 공간의 조화형식과 일대일 대응한다.^[6]:305

가장 간단한 예로, 과녁 공간이 콤팩트 리만 다양체 ${\displaystyle (M,g)}$인 초대칭 시그마 양자역학을 생각하자.^{[6]:206–220} 즉, "시공간"이 1차원(시간)인 경우다. 이 경우, 힐베르트 공간은 ${\displaystyle M}$ 위의 (복소) 미분 형식들의 공간과 동형이다.

${\displaystyle {\mathcal {H}}\cong \Omega (M)\otimes \mathbb {C} }$

이 경우, 미분 형식의 차수는 상태의 페르미온 수 연산자가 된다. 국소좌표계를 ${\displaystyle \{x^{i}\}}$로 잡으면, 다음과 같은 정준 교환 관계(canonical commutation relation)을 잡을 수 있다.

${\displaystyle [x^{i},-i\nabla _{j}]=i\delta _{j}^{i}}$

${\displaystyle \{dx^{i}\wedge ,i\,\iota _{\partial _{j}}\}=ig^{ij}}$

이들을 각각 보손 및 페르미온 위치 및 운동량 연산자로 해석한다.

이 경우, 초대칭 연산자는 외미분 ${\displaystyle d\colon \Omega ^{n}(M)\otimes \mathbb {C} \to \Omega ^{n+1}(M)\otimes \mathbb {C} }$이고, 해밀토니언 연산자는 라플라스-벨트라미 연산자

${\displaystyle H=\{d,d^{\dagger }\}=\Delta }$

가 된다. 즉, 바닥 상태는 조화형식에 대응하고, 드람 코호몰로지는 초대칭 코호몰로지에, 오일러 지표는 위튼 지표에 대응한다.

과녁 공간이 켈러 다양체인 경우, 4개의 초대칭은 각각 ${\displaystyle \partial }$, ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$, ${\displaystyle \partial ^{\dagger }}$, ${\displaystyle {\bar {\partial }}^{\dagger }}$이 되고, 초대칭 코호몰로지는 돌보 코호몰로지가 된다. 과녁 공간이 초켈러 다양체인 경우, 복소 구조가 여러 개 있으므로 서로 다른 두 복소구조를 사용해 그 초대칭이 총 8개가 된다.

게이지 선형 시그마 모형

게이지 선형 시그마 모형(영어: gauged linear sigma model, 약자 GLSM)은 선형 시그마 모형에 게이지장을 추가한 것이다.^[6] 이 경우 특정한 극한을 취하면, 이는 게이지 선형 시그마 모형의 진공 다양체를 과녁 공간으로 하는 비선형 시그마 모형으로 수렴하게 된다. 이와 같은 과정으로 원환 다양체를 과녁 공간으로 하는 비선형 시그마 모형들을 작도할 수 있다. 이는 에드워드 위튼이 도입하였다.^[10]

성질

고전적으로, 시그마 모형의 오일러-라그랑주 방정식은

${\displaystyle g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\phi )^{a}=0}$

이다. 여기서 ${\displaystyle \nabla }$는 ${\displaystyle g}$에 대한 레비치비타 접속이다.

재규격화

비선형 시그마 모형은 ${\displaystyle M}$이 3차원 이상일 경우에는 재규격화할 수 없다.

시그마 모형의 장 ${\displaystyle \Sigma \colon M\to T}$는 ${\displaystyle M}$을 ${\displaystyle T}$ 속에 매장(embedding)하는 것으로 해석할 수 있다. 즉 ${\displaystyle T}$ 속에 ${\displaystyle \dim M}$ 차원의 브레인(brane)의 움직임을 나타낸다. 끈 이론에서는 끈은 2차원 브레인이므로 ${\displaystyle M}$은 끈 세계면을 나타내는 2차원 다양체다. ${\displaystyle T}$는 시공간으로, 끈 이론의 종류에 따라 26차원이거나 10차원이다. 끈 이론에서 다루는 2차원 시그마 모형은 재규격화할 수 있다. 이는 대니얼 프리댄이 1980년에 증명하였다.^[11] 비선형 시그마 모형의 베타 함수는 (1개 고리 차수만 고려하면) 과녁 공간의 리치 흐름과 같다.

${\displaystyle {\frac {dg_{\mu \nu }}{d\ln(\lambda )}}=R_{\mu \nu }+\cdots }$

(여기서 ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$는 과녁 공간의 계량, ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$는 리치 곡률 텐서다.) 이 사실은 끈 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 끈 이론에서, 등각 대칭은 게이지 대칭이므로, 끈의 세계면에 존재하는 이론은 항상 등각 장론이어야 한다. 즉, 베타 함수가 0이어야 한다. 이에 따라서, 그 과녁 공간 (끈 이론에서의 시공간)의 리치 곡률이 0이어야 한다. 이는 진공에서의 아인슈타인 방정식이다. 즉, 끈 이론이 일반 상대성 이론을 재현함을 알 수 있다.

비상대론적 양자역학은 함수 ${\displaystyle \psi (t)\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$에 대한 경로 적분으로 정의된다. 따라서 비상대론적 양자역학은${\displaystyle M=\mathbb {R} }$, ${\displaystyle T=\mathbb {R} }$인 (선형) 시그마 모형이다.

역사

머리 겔만과 모리스 레비(Maurice Lévy)가 베타 붕괴를 설명하기 위해 1960년에 이 종류의 모형을 최초로 고안하였다.^[12] 여기서 시그마(σ)는 겔만-레비 모형에서 스칼라 중간자장의 하나였다.