부분 적분

미적분학에서 부분 적분(部分積分, 영어: integration by parts)은 두 함수의 곱을 적분하는 기법이다.^{[1][2][3][4][5]}

정의

 부정적분 § 부분 적분 및 리만 적분 § 부분 적분 문서를 참고하십시오.

만약 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$가 구간이며 ${\displaystyle u,v\colon I\to \mathbb {R} }$가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수 ${\displaystyle u',v'}$가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.^[2]:292

${\displaystyle \int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x}$

이를 ${\displaystyle u'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} u}$ 및 ${\displaystyle v'(x)\mathrm {d} x=\mathrm {d} v}$를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.

${\displaystyle \int u\mathrm {d} v=uv-\int v\mathrm {d} u}$

만약 ${\displaystyle u,v\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.^{[2]:292, Theorem 7.1}

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x&={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

증명

곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.

${\displaystyle uv'=(uv)'-u'v}$

양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.^[3]:79

${\displaystyle \int u(x)v'(x)\mathrm {d} x=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm {d} x}$

또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.^[2]:292

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)v'(x)\mathrm {d} x={\bigg [}u(x)v(x){\bigg ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}u'(x)v(x)\mathrm {d} x}$

LIATE 법칙 (또는 로.다.삼.지 법칙)

이 명제에서는 주어진 적분에서 ${\displaystyle u}$와 ${\displaystyle \mathrm {d} v}$를 선택하는 방법을 밝히지는 않는데, 보통 도함수가 비교적 간단한 부분을 ${\displaystyle u}$로 두거나, 원함수가 비교적 간단한 부분을 ${\displaystyle v'}$으로 두는 것이 좋다. 도함수가 자기 자신보다 단순한 정도에 따라, 두 함수 가운데 로그 함수, 역삼각 함수, 대수적 함수, 삼각 함수, 지수 함수에서 먼저 나오는 유형에 속하는 하나를 ${\displaystyle u}$로 삼는 법칙을 제시한 저자도 존재하며, 이러한 법칙을 함수 유형들의 첫자들을 따 LIATE 법칙(영어: LIATE rule)이라고 부른다. 즉 로그함수, 역삼각함수, 다항함수, 삼각함수, 지수함수 순으로 '왼쪽 방향'으로 갈수록 미분에 용이하며, '오른쪽 방향'으로 갈수록 적분에 용이하다는 것이다.^[6] 그러나 이 법칙은 때로 옳지 않을 수 있다.

따름정리

만약 ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$가 구간이며 ${\displaystyle u,v\colon I\to \mathbb {R} }$가 ${\displaystyle n}$번 연속 미분 가능 함수라면 (${\displaystyle n}$계 도함수 ${\displaystyle u^{(n)},v^{(n)}}$이 연속 함수라면), 다음이 성립한다.^{[3]:101, Exercise 46}

${\displaystyle \int u(x)v^{(n)}(x)\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}(x)v^{(n-1-k)}(x)+(-1)^{n}\int u^{(n)}(x)v(x)\mathrm {d} x}$

이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.

예

첫째 예

부정적분

${\displaystyle \int x^{2}\ln x\mathrm {d} x}$

을 구하자. ${\displaystyle u=\ln x}$이며 ${\displaystyle \mathrm {d} v=x^{2}\mathrm {d} x}$라고 하자. 그러면 ${\displaystyle \mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/x}$이며 (상수차를 무시하면) ${\displaystyle v=x^{3}/3}$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.^{[1]:516, Example 2}

${\displaystyle \int x^{2}\ln x\mathrm {d} x}$	${\displaystyle ={\frac {x^{3}}{3}}\ln x-{\frac {1}{3}}\int x^{2}\mathrm {d} x}$
	${\displaystyle ={\frac {x^{3}}{3}}\ln x-{\frac {1}{9}}x^{3}+C}$

둘째 예

부정적분

${\displaystyle \int \arcsin x\mathrm {d} x}$

를 구하자. ${\displaystyle u=\arcsin x}$이며 ${\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x}$라고 하자. 그러면 ${\displaystyle \mathrm {d} u=(\mathrm {d} x)/{\sqrt {1-x^{2}}}}$이며 ${\displaystyle v=x}$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.^{[3]:87, Example 7.10}

${\displaystyle \int \arcsin x\mathrm {d} x}$	${\displaystyle =x\arcsin x-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x}$
	${\displaystyle =x\arcsin x+{\frac {1}{2}}\int {\frac {\mathrm {d} (1-x^{2})}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
	${\displaystyle =x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

셋째 예

부정적분

${\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x}$

을 구하자. ${\displaystyle u=x^{2}}$이며 ${\displaystyle \mathrm {d} v=\sin x\mathrm {d} x}$라고 하자. 그러면 ${\displaystyle \mathrm {d} u=2x}$이며 ${\displaystyle v=-\cos x}$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2\int x\cos x\mathrm {d} x}$

우변의 마지막 항의 적분에서 ${\displaystyle u=x}$, ${\displaystyle \mathrm {d} v=\cos x\mathrm {d} x}$, ${\displaystyle \mathrm {d} u=\mathrm {d} x}$, ${\displaystyle v=\sin x}$라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \int x\cos x\mathrm {d} x}$	${\displaystyle =x\sin x-\int \sin x\mathrm {d} x}$
	${\displaystyle =x\sin x+\cos x+C}$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.^{[1]:518, Example 4}

${\displaystyle \int x^{2}\sin x\mathrm {d} x=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C}$

넷째 예

부정적분

${\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x}$

을 구하자. ${\displaystyle u={\sqrt {x^{2}-1}}}$이며 ${\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x}$라고 하자. 그러면 ${\displaystyle \mathrm {d} u=(x/{\sqrt {x^{2}-1}})\mathrm {d} x}$이며 ${\displaystyle v=x}$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.^[4]:

${\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x}$	${\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\int {\frac {x^{2}}{\sqrt {x^{2}-1}}}\mathrm {d} x}$
	${\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x-\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}}$
	${\displaystyle =x{\sqrt {x^{2}-1}}-\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|-\int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x}$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.^{[4]:256, 예6.2.21}

${\displaystyle \int {\sqrt {x^{2}-1}}\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}x{\sqrt {x^{2}-1}}-{\frac {1}{2}}\ln |x+{\sqrt {x^{2}-1}}|+C}$

다섯째 예

다음과 같은 두 적분을 구하자.

${\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x}$

이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

${\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x}$	${\displaystyle ={\frac {1}{b}}\int e^{ax}\mathrm {d} (\sin bx)}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{b}}e^{ax}\sin bx-{\frac {a}{b}}\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x}$	${\displaystyle =-{\frac {1}{b}}\int e^{ax}\mathrm {d} (\cos bx)}$
	${\displaystyle =-{\frac {1}{b}}e^{ax}\cos bx+{\frac {a}{b}}\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x}$

즉, 다음과 같은 연립 방정식이 성립한다.

${\displaystyle b\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x+a\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\sin bx}$

${\displaystyle a\int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x-b\int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x=e^{ax}\cos bx}$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.^{[4]:256, 예6.2.22}

${\displaystyle \int e^{ax}\cos bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C}$

${\displaystyle \int e^{ax}\sin bx\mathrm {d} x={\frac {1}{a^{2}+b^{2}}}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C}$

여섯째 예

다음과 같은 적분을 구하자.

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\qquad (a>0)}$

다음과 같은 부분 적분을 사용하자 (구하려는 적분에 직접 적용하지 않았음에 주의하자).

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}}$	${\displaystyle ={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+2\int {\frac {x^{2}}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}\mathrm {d} x}$
	${\displaystyle ={\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+2\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}-2a^{2}\int {\frac {\mathrm {d} x}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}}$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.^{[4]:258, 예6.2.26}

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} fx}{(x^{2}+a^{2})^{2}}}}$	${\displaystyle ={\frac {1}{2a^{2}}}{\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+{\frac {1}{2a^{2}}}\int {\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}+a^{2}}}}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2a^{2}}}{\frac {x}{x^{2}+a^{2}}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\arctan {\frac {x}{a}}+C}$

같이 보기

• 부정적분#부분 적분
• 리만 적분#부분 적분
• 아벨 변환
• 아벨의 합 공식

각주

1. Larson, Ron; Edwards, Bruce (2013). 《Calculus: Early Transcendental Functions》 (영어) 6판. Boston, MA: Cengage Learning. ISBN 978-1-285-77477-0. LCCN 2013949101.
2. Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2014). 《Calculus With Applications》. Undergraduate Texts in Mathematics (영어) 2판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4614-7946-8. ISBN 978-1-4614-7945-1. LCCN 2013946572.
3. Stewart, Seán M. (2018년 2월). 《How to Integrate It》 (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781108291507. ISBN 978-1-108-41881-2.
4. 伍胜健 (2009년 8월). 《数学分析. 第一册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15685-8.
5. 伍胜健 (2010년 2월). 《数学分析. 第二册》 (중국어). 北京: 北京大学出版社. ISBN 978-7-301-15876-0.
6. Kasube, Herbert E. (1983년 3월). “A Technique for Integration by Parts”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 90 (3): 210-211. doi:10.2307/2975556. ISSN 0002-9890. JSTOR 2975556.

외부 링크

• 이철희. “부분적분”. 《수학노트》.
• “Integration by parts”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
• Weisstein, Eric Wolfgang. “IntegrationbyParts”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.