아벨의 합 공식

아벨의 합 공식(Abel's summation formula, -合 公式)은 해석학의 간단한 공식으로, 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름이 붙어 있다. 주로 해석적 수론에서 급수를 적분으로 표현하는 용도로 사용된다.

적분 기법에 대해서는 아벨의 합 공식 (적분 기법) 문서를 참고하십시오.

공식화

${\displaystyle a_{n}\,}$를 실수나 복소수 항의 수열이라 하고 ${\displaystyle \phi (x)\,}$를 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}\,}$ 급의 함수라 하자. 그러면 다음 항등식이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{1\leq n\leq x}a_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int _{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,}$

여기서,

${\displaystyle A(x):=\sum _{0<n\leq x}a_{n}\,.}$

이는 사실 단순한 계산을 통해 증명할 수 있는 리만-스틸체스 적분에 대한 부분적분 공식과 다름없는 식이다. 보다 일반적으로는 다음 식이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{x<n\leq y}a_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int _{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,\mathrm {d} u\,.}$

사용례

오일러-마스케로니 상수

만약 ${\displaystyle a_{n}=1\,}$ 이고 ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x}}\,,}$ 이라면, 이상의 정의에 따라 ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor \,}$ 이고 다음이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{1}^{x}{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int _{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,\mathrm {d} u}$

이러한 공식을 이용해 오일러-마스케로니 상수를 표현할 수 있다.

리만 제타 함수의 표현

만약 ${\displaystyle a_{n}=1\,}$ 이고 ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ 이라면, ${\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor \,}$ 이고 다음이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

이 공식은 ${\displaystyle \Re (s)>1\,}$ 에 대해서 성립한다. 이 공식을 이용하면 제타함수 ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ 가 s = 1에서 유수 1인 단순극을 갖는다는 디리클레의 정리를 증명할 수 있다.

리만 제타 함수

만약 ${\displaystyle a_{n}=\mu (n)\,}$ 이 뫼비우스 함수이고 ${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{x^{s}}}\,,}$ 이라면, ${\displaystyle A(x)=M(u)=\sum _{n\leq x}\mu (x)\,}$는 메르텐스 함수이고 다음이 성립한다.

${\displaystyle \sum _{1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\mathrm {d} u\,.}$

마찬가지로 이 공식은 ${\displaystyle \Re (s)>1\,}$에서 성립한다.

같이 보기

• 아벨 변환
• 부분적분

참고 문헌

• Apostol, Tom (1976), Introduction to Analytic Number Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag.