항등식

수학에서 항등식(恒等式, identity)은 등식의 일종으로, 항등식에는 크게 두 가지의 정의가 있다.

첫 번째 정의는 등식 내부의 특정한 변수가 복소수의 범위에서 어떤 값으로 변하든 항상 참을 만족하는 등식이다.

예 : x에 대한 항등식${\displaystyle (x+2)^{2}=x^{2}+4x+4}$에서 ${\displaystyle x}$가 복소수의 범위에서 어떤 값으로 변해도 등식을 만족한다.

두 번째 정의는 등식의 양 변에서 특정한 문자의 차수에 따른 문자들의 계수가 각각 모두 같은 등식이다.

예 : ${\displaystyle x}$에 대한 항등식${\displaystyle 2x^{3}-3x^{2}+13x+2=2x^{3}-3x^{2}+13x+2}$은 등식의 양 변에서 ${\textstyle x}$의 차 수에 따른 ${\textstyle x}$의 계수들이 각각 모두 같다.

항등식은 이 특정한 변수들을 구분하기 위해 (특정한 문자)에 대한 항등식이라고 부르며, 항등식에서 변수로 분류되는 문자 이외의 문자들은 모두 "상수" 여야 한다는 약속이 있다.

등식에는 모두 방정식, 항등식, 항상 거짓인 등식 (불능)이 있다. 이 세 가지 부류의 등식을 효율적으로 구분하기 위해서, 항등식 만의 독특한 성질을 따로 분류하여야 한다. 연산의 기본 성질을 활용하여 변형되는 식은 모두 항등식이다.

예를 들어, ${\displaystyle \sin \theta =1}$의 경우는 특정 값에 대해서 만 참을 만족하는 반면, ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$은 ${\displaystyle \theta }$ 값에 관계 없이 항상 참을 만족한다. 즉, 두 번째의 식은 항등식이다.

사칙연산에 있어 다음은 모두 항등식이다.

• ${\displaystyle a+0=0+a=a}$
• ${\displaystyle a-0=a}$
• ${\displaystyle a\times 1=1\times a=a}$
• ${\displaystyle {a \over 1}=a}$

모든 ${\displaystyle x}$에 대하여 성립하다. 임의의 ${\displaystyle x}$에 대하여 성립한다. ${\displaystyle x}$값에 관계없이 성립한다. 어떤 ${\displaystyle x}$의 값을 대입해도 성립한다.

위의 표현은 모두 위의 첫번째 정의에서 나온 표현들로, 어떤 등식이 이 표현의 수식을 받는다면 항등식의 정의에 따라 그 등식은 ${\displaystyle x}$에 대한 항등식이다.

같이 보기

• 야코비 항등식
• 프로이즈볼로프 항등식
• 라그랑주 항등식
• 제르맹 항등식
• 워드-다카하시 항등식
• 피르츠 항등식
• 오일러의 네 제곱수 항등식
• 데겐의 여덟 제곱수 항등식
• 방정식