마틴 공리

집합론에서 마틴 공리(Martin公理, 영어: Martin’s axiom, 약자 ${\displaystyle {\mathsf {MA}}}$)는 실수 집합의 크기보다 더 작은 집합들은 가산 집합과 유사한 성질을 갖는다는 명제다. 여기서 "유사한 성질"이란 강제법에 사용되는 원순서 집합에 대한 것으로, 이 조건을 강화시켜 고유 강제법 공리(固有強制法公理, 영어: proper forcing axiom, 약자 ${\displaystyle {\mathsf {PFA}}}$) 및 마틴 최대 공리(Martin最大公理, 영어: Martin’s maximum, 약자 ${\displaystyle {\mathsf {MM}}}$)를 얻을 수 있다. 적절한 큰 기수의 존재 아래, 이들은 모두 다 통상적인 집합론(체르멜로-프렝켈 집합론 및 선택 공리)으로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

정의

강제법 공리(強制法公理, 영어: forcing axiom)는 다음과 같은 꼴의 명제이다.

• ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$ 조건을 만족시키는 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$ 및 ${\displaystyle X}$의 공시작 집합들의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle |{\mathcal {D}}|<\kappa }$라면, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-포괄적 필터 ${\displaystyle F\subseteq X}$가 존재한다.

여기서 ${\displaystyle {\mathsf {P}}(-)}$는 원순서 집합에 대한 술어이며, ${\displaystyle \kappa \in \operatorname {Card} }$는 기수이다.

주로 사용되는 강제법 공리는 다음과 같다.

이름	기호	원순서 집합 ${\displaystyle X}$의 조건 ${\displaystyle {\mathsf {P}}}$	${\displaystyle {\mathcal {D}}}$의 크기의 상계 ${\displaystyle \kappa }$
마틴 공리	${\displaystyle {\mathsf {MA}}}$	가산 강하향 반사슬 조건	${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
고유 강제법 공리	${\displaystyle {\mathsf {PFA}}}$	고유성 조건	${\displaystyle \aleph _{2}}$
마틴 최대 공리	${\displaystyle {\mathsf {MM}}}$	${\displaystyle X}$에 대한 강제법은 ${\displaystyle \omega _{1}}$의 정상 집합들을 보존	${\displaystyle \aleph _{2}}$

여기서, 모든 비가산 정칙 기수 ${\displaystyle \lambda }$에 대하여, ${\displaystyle X}$에 대한 강제법은 ${\displaystyle [\lambda ]^{\omega }}$의 정상 집합들을 보존한다면, ${\displaystyle X}$가 고유성 조건(영어: properness condition)을 만족시킨다고 한다. (여기서 ${\displaystyle [\lambda ]^{\omega }}$는 ${\displaystyle \lambda }$의 가산 무한 부분 집합들의 족이다.)

보다 일반적으로, 강제법 공리에 등장하는 기수 ${\displaystyle \kappa }$를 다른 기수로 대체할 수 있으며, 이 경우 ${\displaystyle {\mathsf {MA}}(\kappa )}$와 같이 쓴다.

성질

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

마틴 최대 공리 ⇒ 고유 강제법 공리 ⇒ 마틴 공리

무모순성 성질

만약 초콤팩트 기수가 존재한다면, ZFC+마틴 최대 공리는 무모순적이다.

ZFC에서 증명 가능한 경우

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 다음 두 명제를 보일 수 있다.

• 라시오바-시코르스키 보조정리: ${\displaystyle \kappa \leq \aleph _{0}\implies {\mathsf {MA}}(\kappa )}$
• ${\displaystyle \lnot {\mathsf {MA}}(2^{\aleph _{0}})}$. 예를 들어, 실수 구간 ${\displaystyle [0,1]}$은 분해 가능 콤팩트 하우스도르프 공간이므로 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시킨다.

또한, 임의의 원순서 집합 ${\displaystyle (X,\lesssim )}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle X}$에 대한 강제법이 ${\displaystyle \omega _{1}}$의 정상 집합을 보존하지 않는다면, 조건 ${\displaystyle {\mathsf {P}}(X')\iff X=X'}$에 대한, ${\displaystyle \aleph _{2}}$ 미만의 공시작 집합들의 집합족에 대한 강제법 공리는 ZFC에서 거짓이다.^[1] 즉, 이러한 의미에서 마틴 최대 공리는 "가장 강력한" 강제법 공리이다.

강제법 공리를 함의하는 명제

연속체 가설 ${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$는 마틴 공리 ${\displaystyle {\mathsf {MA}}}$를 자명하게 함의한다.

강제법 공리와 동치인 명제

다음 명제들은 ${\displaystyle {\mathsf {MA}}(\kappa )}$와 동치이다.

• 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 ${\displaystyle X}$에 대하여, 만약 ${\displaystyle X}$의 공집합이 아닌 열린집합들의 부분 순서 집합 ${\displaystyle (\operatorname {Open} (X)\setminus \{\varnothing \},\subseteq )}$이 가산 강하향 반사슬 조건을 만족시키면, ${\displaystyle X}$는 ${\displaystyle \kappa }$ 이하의 수의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합이 아니다.^[2]:52

강제법 공리로부터 함의되는 명제

만약 마틴 공리가 참이라면, 다음이 성립한다.

• 정규 무어 공간 추측이 거짓이다.

만약 ${\displaystyle {\mathsf {MA}}\land \lnot {\mathsf {CH}}}$라면, 다음이 성립한다.

• 수슬린 가설이 참이다.^[3]
• 크기가 ${\displaystyle \aleph _{1}}$인, 자유 아벨 군이 아닌 화이트헤드 군이 존재한다.

만약 고유 강제법 공리를 가정한다면, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$.^[4]:258 특히, 연속체 가설이 거짓이다.
• ${\displaystyle {\mathsf {AD}}^{L(\mathbb {R} )}}$ (즉, ${\displaystyle \mathbb {R} }$-구성 가능 전체에서의 결정 공리)^[5]
• 특이 기수 가설 ${\displaystyle {\mathsf {SCH}}}$^[6]

만약 마틴 최대 공리를 가정한다면, 다음이 성립한다.

• 임의의 정칙 기수 ${\displaystyle \kappa \geq \omega _{2}}$의 정상 집합 ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$에 대하여, 만약 ${\displaystyle S}$의 모든 원소의 공종도가 가산 기수라면, ${\displaystyle S\cap \alpha }$가 ${\displaystyle \alpha }$ 속의 정상 집합이 되는 순서수 ${\displaystyle \alpha <\kappa }$가 존재한다.

역사

마틴 공리는 도널드 앤서니 마틴(영어: Donald Anthony Martin)과 로버트 솔로베이가 1970년에 도입하였다.^[7]

고유 강제법 공리는 제임스 얼 바움가트너(영어: James Earl Baumgartner)와 사하론 셸라흐가 1970년대에 도입하였다.^[8]

마틴 최대 공리는 1988년에 매슈 포어먼(영어: Matthew Foreman) · 메나헴 마기도르 · 사하론 셸라흐가 도입하였다.^[1] 이 논문에서 포먼·마기도르·셸라흐는 마틴 최대 공리가 (어떤 특정한 의미에서) 가장 강력한 강제법 공리임을 증명하였다.

각주

1. Foreman, Matthew; Magidor, Menachem; Shelah, Saharon (1988년 1월). “Martin’s maximum, saturated ideals, and nonregular ultrafilters. Part I”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 127 (1): 1–47. doi:10.2307/1971415. JSTOR 1971415. MR 0924672. Zbl 0645.03028.
2. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 11일에 확인함.
3. Solovay, Robert M.; Tennenbaum, Stanley (1971). “Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 94 (2): 201–245. doi:10.2307/1970860. JSTOR 1970860.
4. Veličković, Boban (1992년 8월). “Forcing axioms and stationary sets”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 94 (2): 256–284. doi:10.1016/0001-8708(92)90038-M. ISSN 0001-8708.
5. Steel, John R. (2005년 12월). “𝖯𝖥𝖠 implies 𝖠𝖣^L(ℝ)” (PDF). 《Journal of Symbolic Logic》 (영어) 70 (4): 1255–1296. doi:10.2178/jsl/1129642125. ISSN 0022-4812. JSTOR 27588424. MR 2194247. Zbl 1103.03047.
6. Viale, Matteo (2006년 6월). “The proper forcing axiom and the singular cardinal hypothesis” (PDF). 《The Journal of Symbolic Logic》 (영어) 71 (2): 473-479. doi:10.2178/jsl/1146620153. ISSN 0022-4812. JSTOR 27588460. MR 2225888. Zbl 1098.03053.^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
7. Martin, Donald A.; Solovay, Robert M. (1970). “Internal Cohen extensions”. 《Annals of Mathematical Logic》 (영어) 2 (2): 143–178. doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4. MR 0270904.
8. Baumgartner, James Earl (1984). 〈Applications of the proper forcing axiom〉. Kunen, Kenneth; Vaughn, Jerry E. 《Handbook of set-theoretic topology》 (영어). North-Holland. 913–959쪽. doi:10.1016/B978-0-444-86580-9.50024-0. ISBN 978-0-444-86580-9.

• Fremlin, David H. (1984). 《Consequences of Martin’s axiom》. Cambridge Tracts in Mathematics (영어) 84. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511896972. ISBN 978-0-521-25091-7. Zbl 0551.03033.
• Shoenfield, Joseph Robert (1975년 6월). “Martin’s axiom”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 82 (6): 610–617. doi:10.2307/2319691. ISSN 0002-9890. JSTOR 2319691.
• Moore, Justin Tatch (2011). 〈The proper forcing axiom〉 (PDF). Bhatia, Rajendra. 《Proceedings of the international congress of mathematicians (ICM 2010), Hyderabad, India, August 19–27, 2010. Volume II: invited lectures》 (영어). World Scientific. 3–29쪽. ISBN 978-981-4324-30-4. Zbl 1258.03075.
• Todorčević, Stevo (2014년 2월). 《Notes on forcing axioms》. National University of Singapore Institute for Mathematical Sciences Lecture Notes Series (영어) 26. World Scientific. doi:10.1142/9013. ISBN 978-981-4571-57-9.
• Veličković, Boban. 〈Forcing axioms and cardinal arithmetic〉 (PDF). Cooper, S. Barry; Geuvers, Herman; Pillay, Anand; Väänänen, Jouko. 《Logic colloquium 2006. Proceedings of the annual European summer meeting of the Association for Symbolic Logic (ASL), Nijmegen, Netherlands, July 27–August 2, 2006》. Lecture Notes in Logic (영어) 32. Cambridge University Press. 328–360쪽. ISBN 978-0-521-11081-5. Zbl 1189.03050. 2016년 8월 19일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 8월 3일에 확인함.

외부 링크

• Caicedo, Andrés (2008년 9월 12일). “Set theory seminar — forcing axioms and inner models”. 《Teaching Blog》 (영어).
• Caicedo, Andrés (2008년 9월 21일). “Set theory seminar — forcing axioms and inner models II”. 《Teaching Blog》 (영어).
• Caicedo, Andrés (2008년 9월 30일). “Set theory seminar — forcing axioms and inner models — intermezzo”. 《Teaching Blog》 (영어).
• Caicedo, Andrés (2008년 10월 1일). “Set theory seminar — forcing axioms and inner models III”. 《Teaching Blog》 (영어).
• Caicedo, Andrés (2008년 10월 3일). “Set theory seminar — forcing axioms and inner models IV”. 《Teaching Blog》 (영어).
• Caicedo, Andrés (2008년 10월 12일). “Set theory seminar — forcing axioms and inner models V”. 《Teaching Blog》 (영어).
• Caicedo, Andrés (2008년 10월 17일). “Set theory seminar — forcing axioms and inner models VI”. 《Teaching Blog》 (영어).
• Caicedo, Andrés (2008년 10월 24일). “Set theory seminar — forcing axioms and inner models VII”. 《Teaching Blog》 (영어).