포괄적 필터

순서론에서 포괄적 필터(包括的filter, 영어: generic filter)는 모든 공시작 집합과 겹치는 필터이다. 이 개념은 강제법에 응용된다.

정의

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터 ${\displaystyle F\subseteq P}$를 ${\displaystyle P}$의 포괄적 필터(영어: generic filter)라 부른다.^{[1]:202, Definition 14.1}

• 모든 공시작 집합 ${\displaystyle D\subseteq P}$에 대하여, ${\displaystyle D\cap F\neq \varnothing }$

집합론에서는 공시작 집합을 ‘조밀 집합(dense set)’이라고 부르기도 한다.

위 정의를 일반화해서 ${\displaystyle P}$ 속의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(P)}$가 주어졌을 때, 다음 조건을 만족시키는 필터 ${\displaystyle F\subseteq P}$를 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-포괄적 필터(영어: ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-generic filter)라고 부른다.

• 모든 ${\displaystyle D\in {\mathcal {D}}}$에 대하여, ${\displaystyle D\cap F\neq \varnothing }$

마찬가지로, 원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$에 대해서 다음 조건을 만족시키는 순서 아이디얼 ${\displaystyle I\subseteq P}$를 포괄적 순서 아이디얼(영어: generic order ideal)이라 부른다.

• 모든 공종 집합 ${\displaystyle D\subseteq P}$에 대하여, ${\displaystyle D\cap I\neq \varnothing }$

마찬가지로 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-포괄적 순서 아이디얼을 정의할 수 있다.

성질

라시오바-시코르스키 보조정리

ZFC를 가정하면 다음이 성립한다:

라시오바-시코르스키 보조정리

원순서 집합 ${\displaystyle (P,\lesssim )}$와 가산 개의 공시작 집합들로 이루어진 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\subseteq {\mathcal {P}}(P)}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-포괄적 필터 ${\displaystyle F\subseteq P}$가 존재한다.

또한, 임의의 원소 ${\displaystyle x\in P}$에 대해서 ${\displaystyle x\in F}$인 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-포괄적 필터 ${\displaystyle F\subseteq P}$가 존재한다.

라시오바-시코르스키 보조정리의 증명:

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\{D_{1},D_{2},\dots \}}$라고 하자. 그렇다면, 원소열 ${\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }\in P}$을 다음과 같이 정의하자.

• ${\displaystyle x_{0}=x}$
• ${\displaystyle x_{i}\in P}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle D_{i+1}}$이 공시작 집합이므로, ${\displaystyle x_{i+1}\lesssim x_{i}}$인 ${\displaystyle x_{i+1}\in D_{i+1}}$를 선택 공리를 사용하여 고른다.

그렇다면

${\displaystyle F=\uparrow \{x_{0},x_{1},x_{2},\dots \}=\bigcup _{i=0}^{\infty }\uparrow \{x_{i}\}}$

는 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-일반 필터이다. (여기서 ${\displaystyle \uparrow }$는 상폐포를 뜻한다.)

응용

흔히, 강제법에서는 집합론의 표준 추이적 모형 ${\displaystyle \langle M,\in \rangle }$을 다루는데, 이 경우 강제법 원순서 집합 ${\displaystyle P}$ 속의, ${\displaystyle M}$의 원소인 공시작 집합들의 집합

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\operatorname {Coinit} (P,\lesssim )\cap M}$

에 대한 ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$-포괄적 필터 또는 순서 아이디얼을 사용한다.^{[1]:202, Chapter 14}

역사

라시오바-시코르스키 보조정리는 1950년에 헬레나 라시오바(폴란드어판)와 로만 시코르스키(폴란드어판)가 증명하였다. 그들은 이를 이용해 괴델의 완전성 정리를 집합론적인 접근법으로 증명했다.^[2]

각주

1. Jech, Thomas (2003). 《Set theory》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Springer-Verlag. doi:10.1007/3-540-44761-X. ISBN 978-3-540-44085-7. ISSN 1439-7382. Zbl 1007.03002.
2. Rasiowa, Helena; Sikorski, Roman (1950). “A proof of the completeness theorem of Gödel”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 37: 193–200.