F 분포(F-distribution 또는 Snedecor's F distribution 또는 Fisher–Snedecor distribution)은 통계학에서 사용되는 연속 확률 분포로, F 검정(F test)과 분산분석(ANOVA,변량분석) 등에서 주로 사용된다.
간략 정보 확률 밀도 함수, 누적 분포 함수 ...
F 분포
확률 밀도 함수 |
|
누적 분포 함수 |
|
매개변수 |
자유도 |
지지집합 |
![{\displaystyle x\in [0,+\infty )\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8228da3abf736742ab62da739bb670cc89fc7ae) |
확률 밀도 |
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65803c3bdaed5d4c035f6366343875341620b203) |
누적 분포 |
![{\displaystyle I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9648f4a7a83c643cf3981d807bdfe317f23ec3c) |
기댓값 |
for ![{\displaystyle d_{2}>2}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8becc7f9a26666a2faee158c209dba7b42c4b66) |
최빈값 |
for ![{\displaystyle d_{1}>2}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e308c920cd72c86c6a1a8f84b0eadc3a807a711f) |
분산 |
for ![{\displaystyle d_{2}>4}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1102915ed0508d2dc5afe5bd440e7dfad0249887) |
비대칭도 |
![{\displaystyle {\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac47c2f77fbcda51696e9f0819ff405c7f4c5b47) for ![{\displaystyle d_{2}>6}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cde6f4f94cb60b4cc472d49a8f614fe723590be) |
첨도 |
본문 참조 |
적률생성함수 |
존재하지 않음 |
특성함수 |
본문 참조 |
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두 확률변수
가 각각 자유도가
이고 서로 독립인 카이제곱 분포를 따른다고 할 때, 다음과 같이 정의되는 확률변수 F는 자유도가 (
)인 F-분포를 따른다고 한다.
![{\displaystyle F={\frac {V_{1}/k_{1}}{V_{2}/k_{2}}}\sim F(k_{1},k_{2})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986d118e464d91750cfde42fda48e38ccfc7899d)
F분포 F(d1, d2)를 따르는 무작위 변수의 확률 밀도 함수는 다음과 같다.
![{\displaystyle g(x)={\frac {1}{\mathrm {B} (d_{1}/2,d_{2}/2)}}\;\left({\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{1}/2}\;\left(1-{\frac {d_{1}\,x}{d_{1}\,x+d_{2}}}\right)^{d_{2}/2}\;x^{-1}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/773d2446b8437f70a8ac79dfb671c9ce90678259)
- 여기서 실수 x ≥ 0에 대해 d1과 d2는 양의 정수이며, B는 베타 함수이다.
누적 분포 함수는 다음과 같다.
![{\displaystyle G(x)=I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40e926f837272a5b718b4caa6a0452b852109158)
여기에서
는 정규화 불완전 베타 함수이다.
특성함수는 다음과 같다.
![{\displaystyle \varphi _{\nu _{1},\nu _{2}}^{F}=M\left({\frac {\nu _{1}}{2}},-{\frac {\nu _{2}}{2}},-i{\frac {\nu _{2}}{\nu _{1}}}t\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a199cb0c57029a0173087a4354fbd5ed69f3c0)