해석학에서 베타 함수(Β函數, 영어: beta function)는 감마 함수의 비로 나타내어지는 2변수 특수 함수이다. 이항계수의 해석적 연속으로 생각할 수 있다.
베타 함수
는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a74432146c553dfcb24c69b0843fc6ea98cbc053)
이때 x와 y는 실수부가 0보다 큰 복소수이다. 감마 함수와 함께 오일러 적분(Euler integral)으로 부르기도 한다.
감마 함수가 계승을 일반화한 것으로 생각할 수 있는 것처럼, 베타함수는 이항계수의 일반화로 생각할 수 있다.
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\operatorname {B} (n-k+1,k+1)}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291d636f9b39a1bfdd0f8236d4ead40762ee1cb1)
- 대칭성이 있다. 즉,
가 성립한다.
, 여기에서
는 감마 함수.
![{\displaystyle \operatorname {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe2a42282ffd6b59fe86e2f48c698c821040d81)
![{\displaystyle \operatorname {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \Re (x)>0,\ \Re (y)>0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8228577242af73c3a8929a1bdc80123f7f210d5a)
, 여기에서
.
끈이론의 탄생에 큰 기여를 했다. 베타함수는 강력을 기술하는 방정식으로 사용되기도 한다.[출처 필요]