크로네커-베버 정리

크로네커-베버 정리(영어: Kronecker–Weber theorem, 중국어: 定理)는 대수적 수론의 정리로, 유리수체 위의 갈루아 군이 아벨 군인 모든 대수적 수체, 즉 유리수체의 임의 유한 아벨 확대는 원분체의 부분체라는 내용이다.

예

예를 들어, ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]/\mathbb {Q} }$의 갈루아 군은 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$이므로 이는 유리수체의 아벨 확대이다. 따라서 ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$는 1의 거듭제곱근들의 유리수 계수 선형결합으로 나타낼 수 있다. 구체적으로,

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}}$

이다. 즉, ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]}$는 원분체 ${\displaystyle \mathbb {Q} [\exp(2\pi i/5)]}$의 부분체이다.

역사

이 정리는 1853년 독일의 레오폴트 크로네커에 의해 처음으로 언급되었지만 증명은 완벽하지 못했다.^[1][2] 또 다른 독일 수학자인 하인리히 마르틴 베버(Heinrich Martin Weber)가 1886년 완벽해 보이는 증명을 출판하여 이 둘의 이름이 붙었다. 그러나 베버의 첫 증명에는 약간의 비약과 오류가 있었고, 올라프 노이만(Olaf Neumann)이 1981년 논문을 통해 이를 바로잡았다.^[3] 다비트 힐베르트는 1896년 처음으로 이 정리의 올바르고 완전한 증명에 성공하였다.^[4]

국소적 크로네커-베버 정리

미국의 조너선 루빈(Jonathan Lubin)과 존 테이트는 1965년, 1966년 두 논문을 통해 크로네커-베버 정리의 국소화된 판본을 발표하였다. 여기서 루빈과 테이트는 국소체(local field)의 임의 아벨 확대는 원분 확대(cyclotomic extension)와 루빈-테이트 확대(Lubin-Tate extension)만으로 구성될 수 있다는 것을 보였다.

같이 보기

• 힐베르트의 열두 번째 문제
• 크로네커의 청춘의 꿈

각주

1. Kronecker, Leopold (1853), "Über die algebraisch auflösbaren Gleichungen", Berlin K. Akad. Wiss.: 365–374, Collected works volume 4
2. Kronecker, Leopold (1877), "Über Abelsche Gleichungen", Berlin K. Akad. Wiss.: 845–851, Collected works volume 4
3. Neumann, Olaf (1981), "Two proofs of the Kronecker-Weber theorem "according to Kronecker, and Weber"", Journal für die reine und angewandte Mathematik 323: 105–126, DOI:10.1515/crll.1981.323.105, ISSN 0075-4102, MR 611446
4. Hilbert, David (1896). “Ein neuer Beweis des Kronecker'schen Fundamentalsatzes über Abel'sche Zahlkörper”. 《Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen》 (독일어): 29–39.

• Lubin, Jonathan; Tate, John (1965), "Formal complex multiplication in local fields", Annals of Mathematics. Second Series 81: 380–387, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970622, MR 0172878
• Lubin, Jonathan; Tate, John (1966), "Formal moduli for one-parameter formal Lie groups", Bulletin de la Société Mathématique de France 94: 49–59, ISSN 0037-9484, MR 0238854