초거리 공간

수학에서 초거리 공간(超距離空間, 영어: ultrametric space)은 삼각 부등식보다 더 강한 부등식을 만족시키는 거리 공간이다.

정의

집합 ${\displaystyle M}$ 위의 초거리 함수(영어: ultrametric)는 다음 조건들을 만족시키는 함수

${\displaystyle d\colon M\times M\to \mathbb {R} _{\geq 0}}$

이다.

• (대칭성) 모든 ${\displaystyle x,y\in M}$에 대하여, ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
• 모든 ${\displaystyle x,y\in M}$에 대하여, ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
• (초거리 부등식 영어: ultrametric inequality) 모든 ${\displaystyle x,y\in M}$에 대하여, ${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}}$

초거리 공간은 초거리 함수를 갖춘 집합이다.

성질

초거리 공간에서 가능한 삼각형

초거리 함수는 거리 함수이며, 따라서 초거리 공간은 거리 공간이다.

초거리 공간에서, 모든 삼각형은 이등변 삼각형이며, 밑변이 같은 두 변보다 더 길지 않다. 즉, 임의의 ${\displaystyle x,y,z\in M}$에 대하여, 다음 세 조건 가운데 항상 하나 이상이 성립한다.

• ${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$
• ${\displaystyle d(y,z)=d(z,x)}$
• ${\displaystyle d(z,x)=d(x,y)}$

초거리 공간 ${\displaystyle (M,d)}$의 열린 공에 대하여, 다음이 성립한다.

• 열린 공 속의 모든 점은 공의 중심이다. 즉, 만약 ${\displaystyle d(x,y)<r}$라면 ${\displaystyle B(x,r)=B(y,r)}$이다.
• 서로 교차하는 두 열린 공의 경우, 하나가 다른 하나의 부분 집합이다. 즉, ${\displaystyle B(x,r)\cap B(y,s)\neq \varnothing }$이라면 ${\displaystyle B(x,r)\subseteq B(y,s)}$이거나 ${\displaystyle B(y,s)\subseteq B(x,r)}$이다.
• 열린 공과 닫힌 공은 모두 열린닫힌집합이다.

예

집합 ${\displaystyle S}$ 위의 이산 거리 공간은 초거리 공간이다.

p진수의 공간은 p진 노름을 부여하면 완비 초거리 공간을 이룬다.

참고 문헌

• Kaplansky, I. (1977). 《Set Theory and Metric Spaces》. AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2694-8.
• Holly, Jan E. (2001년 10월). “Pictures of ultrametric Spaces, the p-adic numbers, and valued fields” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 108 (8): 721–728. doi:10.2307/2695615. JSTOR 2695615.