수학에서 초거리 공간(超距離空間, 영어: ultrametric space)은 삼각 부등식보다 더 강한 부등식을 만족시키는 거리 공간이다.
정의
집합 위의 초거리 함수(영어: ultrametric)는 다음 조건들을 만족시키는 함수
이다.
- (대칭성) 모든 에 대하여,
- 모든 에 대하여,
- (초거리 부등식 영어: ultrametric inequality) 모든 에 대하여,
초거리 공간은 초거리 함수를 갖춘 집합이다.
성질
![Thumb](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/Strong_triangle_ineq.svg/220px-Strong_triangle_ineq.svg.png)
초거리 함수는 거리 함수이며, 따라서 초거리 공간은 거리 공간이다.
초거리 공간에서, 모든 삼각형은 이등변 삼각형이며, 밑변이 같은 두 변보다 더 길지 않다. 즉, 임의의 에 대하여, 다음 세 조건 가운데 항상 하나 이상이 성립한다.
초거리 공간 의 열린 공에 대하여, 다음이 성립한다.
예
참고 문헌
- Kaplansky, I. (1977). 《Set Theory and Metric Spaces》. AMS Chelsea Publishing. ISBN 0-8218-2694-8.
- Holly, Jan E. (2001년 10월). “Pictures of ultrametric Spaces, the p-adic numbers, and valued fields” (PDF). 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 108 (8): 721–728. doi:10.2307/2695615. JSTOR 2695615.
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