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삼각 부등식
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삼각 부등식(三角 不等式, Triangle inequality)은 수학에서 삼각형의 세 변에 대한 부등식이다. 이 부등식은 임의의 삼각형에 대하여 그 임의의 두 변의 합이 나머지 한 변보다 커야 함을 말하는 것으로서 기하학의 여러 공간에 적용된다.[1][2]
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삼각형의 세 변이 x, y, z에서 최대 변이 z라고 하면 삼각 부등식은 이 성립됨을 주장하고 있다.[주해 1] 등호가 성립하는 것은 삼각형이 면적 0으로 퇴화한 때에 한한다. 유클리드 기하학 이외의 몇 개의 기하학에서 삼각 부등식은 거리에 관한 정리로서 벡터나 벡터의 길이(노름)를 이용하여
라고 표현할 수 있다. 여기서 3번째 변 z의 길이가 벡터의 합 x + y로 치환되고 있는 것에 주의해야 한다. x, y가 실수일 때에 그것을 ℝ1의 벡터로 본다면 삼각 부등식은 절댓값 사이의 관계를 서술하는 것이 된다.
유클리드 기하학에서 직각삼각형에 대한 삼각 부등식은 피타고라스의 정리의 귀결이며 일반 삼각형의 경우에는 코사인 법칙의 귀결인데 그러한 정리에 의하지 않는 증명은 가능하다. 삼각 부등식은 ℝ2이나 ℝ3 가운데 어느 곳에서 직관적으로 볼 수 있다. 그림은 분명히 부등호가 성립되는 것(위쪽)부터 등호에 가까운 것(아래쪽)까지의 3가지 예시이다. 유클리드 기하학의 경우 등호가 성립하려면 하나의 각이 180°이고 2개의 각이 0°인 경우, 따라서 3개의 꼭짓점이 동일 직선상에 있는 경우(공선점)에 한정된다. 따라서 유클리드 기하학에서 2개의 점 사이의 최단 거리는 직선이다.
구면기하학에서 2개의 점 사이의 최단 거리는 대원의 호이지만 구면상의 2개의 점 사이의 거리가 그 2개의 점을 연결하는 열호선분(대원 안에서 그 2개의 점을 끝점으로 하는 2개의 호 가운데 중심각이 [0, π)인 것)으로 주어지는 것이라고 한다면 삼각 부등식이 성립된다.[3][4]
삼각 부등식은 노름이나 거리 함수의 '정의 성질' 가운데 하나이다. 그러한 성질은 각각 특정 공간(실직선이나 유클리드 공간이나 (p ≥ 1에 대한) 르베그 공간(Lp-공간)이나 내적 공간)에 대해 그러한 노름이나 거리 함수가 되어야 하는 임의의 함수에 대한 정리로서 제대로 서술하지 않으면 안 된다.