From Wikipedia, the free encyclopedia
ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ದೂರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ನಿರಂತರ ಪ್ರಮಾಣದ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ (ಅಥವಾ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ, ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ವಿಸ್ತರಣೆಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದಾದ ಪ್ರಮಾಣ). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ 'ನೈಜ್ಯ' ಎಂಬ ವಿಶೇಷಣವನ್ನು 17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ರೆನೆ ಡೆಸ್ಕಾರ್ಟೆಸ್ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು, ಅವರು ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ನೈಜ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕ ಮೂಲಗಳ ನಡುವೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತೋರಿಸಿದರು. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಎಲ್ಲಾ ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಪೂರ್ಣಾಂಕ -5 ಮತ್ತು ಭಿನ್ನ 4/3, ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ (1.41421356..., 2 ರ ವರ್ಗಮೂಲ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಬೀಜಗಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆ). ಅಭಾಗಲಬ್ಧಗಳೊಳಗೆ π (3.14159265...) ನಂತಹ ನೈಜ ಅತೀಂದ್ರಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗಿದೆ.[1] ದೂರವನ್ನು ಅಳೆಯುವುದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸಮಯ, ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ, ಶಕ್ತಿ, ವೇಗ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿನವುಗಳಂತಹ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು R ಅಥವಾ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಬಳಸಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ [2] ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ "ವಾಸ್ತವಗಳು" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.[3]
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾ ರೇಖೆ ಅಥವಾ ನೈಜ ರೇಖೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುವ ಅನಂತ ಉದ್ದದ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಬಿಂದುಗಳು ಸಮಾನ ಅಂತರದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 8.632 ರಂತಹ ಪ್ರಾಯಶಃ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು, ಅಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸತತ ಅಂಕಿಯನ್ನು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹತ್ತನೇ ಒಂದು ಭಾಗದಷ್ಟು ಘಟಕಗಳಲ್ಲಿ ಅಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೈಜ ರೇಖೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಮತಲದ ಒಂದು ಭಾಗವೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಭಾಗವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.
ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಈ ವಿವರಣೆಗಳು ಶುದ್ಧ ಗಣಿತದ ಆಧುನಿಕ ಮಾನದಂಡಗಳಿಂದ ಸಾಕಷ್ಟು ಕಠಿಣವಾಗಿಲ್ಲ. ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸೂಕ್ತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆವಿಷ್ಕಾರ-ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಉತ್ತಮವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅರಿವು-19 ನೇ ಶತಮಾನದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮುಖ ಬೆಳವಣಿಗೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದಾಗಿದೆ. ಪ್ರಸ್ತುತ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಡೆಡೆಕಿಂಡ್-ಸಂಪೂರ್ಣ ಆದೇಶ ಕ್ಷೇತ್ರವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ ( ; + ; · ; <)ಒಂದು ಸಮಾನತೆಯ ವರೆಗೆ, ಆದರೆ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಜನಪ್ರಿಯ ರಚನಾತ್ಮಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಕೌಚಿ ಅನುಕ್ರಮಗಳ (ಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ), ಡೆಡೆಕಿಂಡ್ ಕಟ್ಗಳು ಅಥವಾ ಅನಂತ ದಶಮಾಂಶ ಪ್ರಾತಿನಿಧ್ಯಗಳ ಸಮಾನತೆಯ ವರ್ಗಗಳಾಗಿ ಘೋಷಿಸುವುದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಜೊತೆಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಕ್ರಮದ ಸಂಬಂಧಕ್ಕಾಗಿ ನಿಖರವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು. ಈ ಎಲ್ಲಾ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಆಕ್ಸಿಯೋಮ್ಯಾಟಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನವಾಗಿವೆ.
ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಎಣಿಸಲಾಗದು, ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ ಎರಡೂ ಅನಂತ ಗಣಗಳಾಗಿದ್ದರೂ, ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳವರೆಗೆ ಒಂದರಿಂದ ಒಂದು ಕಾರ್ಯವು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ, ಇಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನಿರಂತರತೆಯ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತದೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಗಿಂತ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ (, 'aleph-nought' ಇಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ).
ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಹೆಚ್ಚಿನ ಕಾರ್ಡಿನಾಲಿಟಿಯೊಂದಿಗೆ ನೈಜತೆಯ ಉಪವಿಭಾಗವಿಲ್ಲ ಎಂಬ ಹೇಳಿಕೆ ಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದು ಮತ್ತು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಕ್ಕಿಂತ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ, ಇದನ್ನು ನಿರಂತರ ಕಲ್ಪನೆ (CH) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಆಧುನಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಅಡಿಪಾಯವಾದ ಝೆರ್ಮೆಲೊ-ಫ್ರೇಂಕೆಲ್ ಸೆಟ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ತತ್ವ (ZFC) ಸೇರಿದಂತೆ ಆಯ್ಕೆಯ ಮೂಲತತ್ವಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಥವಾ ನಿರಾಕರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ZFC ಯ ಕೆಲವು ಮಾದರಿಗಳು CH ಅನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುತ್ತವೆ, ಆದರೆ ಇತರರು ಅದನ್ನು ಉಲ್ಲಂಘಿಸುತ್ತಾರೆ.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.