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部分群
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群 G の部分集合 H が G の部分群(英: subgroup)であるとは、 H が G の演算に関して群になることである——より正確に表現すると、 H が G の部分群であるとは、G 上の演算を制限して得られる H 上の演算に関して H が群になることである。この関係は通常、
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という記号で表現され[1]、「 H は G の部分群である」と読む。
G の真部分群(英: proper subgroup)とは、部分群 H が G の真部分集合である(つまり H ≠ G である)ことであり、この関係は H < G という記号で表現される。任意の群 G に対し、G 自身と単位元のみからなる集合 {e} は常に G の部分群である。 H が G の部分群であるとき、 G は H の拡大群であると表現する場合がある。
G が任意の半群であるときも、G の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 G は順序対 (G, ∗) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、G を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造(あるいはもっとほかの構造)を定めるということを強調するためである。
以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 a ∗ b を単に ab と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。