結合法則
同じ演算が並ぶときに演算を施す順序を入れ替えても結果が変わらないという、演算に関する法則 / ウィキペディア フリーな encyclopedia
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この項目では、数学について説明しています。プログラミング言語については「演算子の結合性(英語版)」をご覧ください。 |
数学における結合性(けつごうせい、英: associative property[1],associativity)は、一部の二項演算がもつ性質である。演算が結合的であるための必要十分条件を結合法則(けつごうほうそく、英: associative law; 結合律、結合則)という。命題論理において、結合則(結合規則)は形式的証明における式に対する妥当(英語版)な置換規則(英語版)のひとつに挙げられる。
同一式にて同じ結合的演算が複数回現れる場合、それらの演算を施す順番は、被演算子の順序を変えない限り、結果に影響しない。つまり、(必要ならば中置記法と括弧を使った式に書き換えて)括弧の位置を入れ替えても、式の値は変わらない。例えば、
を例にとると、各行とも左辺と中辺で括弧の位置が変わっている(そして被演算子の現れる位置は変わっていない)けれども、その値である右辺は変わりないことを述べている。このような関係式は、被演算子を任意の実数とする加法や乗法を計算する限りにおいて満足されるから、それを「実数の加法および乗法は結合的(演算)である」とか、「実数の加法および乗法は(実数全体の成す集合上で)結合法則を満足する」などと言い表す。
結合性は、「二つの被演算子の現れる位置を入れ替えても結果が変わらない」ことを意味する可換則とは異なる。例えば、実数の乗法が可換演算であるのは、実数の乗法において被演算子の順番を変えてもよいこと—つまり a × b = b × a—が満足されることによる。
結合的演算は数学において遍く存在する。事実として、多くの代数的構造(例えば半群や圏)では、それらの持つ二項演算が結合的であることを明示的に要請される。