数学上の未解決問題

数学上の未解決問題（すうがくじょうのみかいけつもんだい、英: unsolved problems in mathematics）とは、未だ解決されていない数学上の問題のことで、未解決問題の定義を「未だ証明が得られていない命題」という立場を取るのであれば、そういった問題は数学界に果てしなく存在する。ここでは、リーマン予想のようにその証明結果が数学全域と関わりを持つような命題、P≠NP予想のようにその結論が現代科学、技術のあり方に甚大な影響を及ぼす可能性があるような命題、問いかけのシンプルさ故に数多くの数学者や数学愛好家たちが証明を試みてきたような有名な命題を列挙する。

ミレニアム懸賞問題

→詳細は「ミレニアム懸賞問題」を参照

以下7つの問題はミレニアム懸賞問題と呼ばれ、クレイ数学研究所によってそれぞれ100万ドルの懸賞金が懸けられている。

• P≠NP予想
• ホッジ予想
• ポアンカレ予想（グリゴリー・ペレルマンによって解決済み）
• リーマン予想
• ヤン-ミルズ方程式と質量ギャップ問題
• ナビエ–ストークス方程式の解の存在と滑らかさ
• バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想（BSD予想とも）

その他の未解決問題

「―は無数に存在するか」系

• 双子素数は無数に存在するか。
• メルセンヌ素数は無数に存在するか。(メルセンヌ予想)
  • 等価の問題として、偶数の完全数は無数に存在するか。
    • 一般に、倍積完全数は無数に存在するか。
• 調和数は無数に存在するか。
• 友愛数は無数に存在するか。
• 婚約数は無数に存在するか。
• 社交数は無数に存在するか。
• 正則素数は無数に存在するか。
• カレン素数は無数に存在するか。
• プロス素数は無数に存在するか。
• ソフィー・ジェルマン素数は無数に存在するか。
• 十進法において、回文素数は無数に存在するか。
• 十進法において、レピュニット素数は無数に存在するか。
• ルース＝アーロン・ペアは無数に存在するか。
• フィボナッチ素数は無数に存在するか。
• 素数（合成数）であるフェルマー数は無数個（有限個）存在するか。

「―は存在するか（否か）」系

• 奇数の完全数は存在するか。
  • 一般に、1以外の奇数の倍積完全数は存在するか。
• 準完全数は存在するか。
• 2^k の形をした数(1, 2, 4, 8, 16, ...)以外に概完全数は存在するか。
• 偶数と奇数の組の友愛数は存在するか。
• 偶数同士、奇数同士の婚約数は存在するか。
• 3つ組の社交数は存在するか。
  • 7つ組の社交数は存在するか。
  • 10個組の社交数は存在するか。
• 1以外の奇数の調和数は存在するか。
• 奇数の不思議数は存在するか。
• 合成数のフォーチュン数は存在するか。
• ウォルステンホルム素数は16843と2124679以外に存在するか（無数に存在するか）。
• ウィルソン素数は5, 13, 563以外に存在するか（無数に存在するか）。
• ブロカールの問題 - ブラウン数は(4,5), (5,11), (7,71)以外に存在するか。
• 十進数のリクレル数は存在するか。
• 6個以下の6乗数の和で表すことができる6乗数は存在するか。
• ゴールマハティヒ予想 - 2つ以上の基数において3桁以上のレピュニットとして表される自然数は31と8191以外に存在するか。

「―は全て――」系

• ゴールドバッハの予想 : 6以上の任意の偶数は、2つの奇素数の和で表せるか。
• コラッツの予想 : 任意の自然数nが偶数であるならば2で除算、奇数ならば3を乗算した後1を加算という操作を有限回繰り返すことで1という結果になるか。
• 5番目以上のフェルマー数はすべて合成数か。
• フェルマー数は全て平方因子を持たないのか。
• 無理数かつ代数的数である数は正規数であるかどうか。
• ボスト予想=代数的K理論と素数論を統一する予想。

「―はいくつか」系

• 魔方陣の数はいくつあるか。
• 最小のシェルピンスキー数は 78557、最小のリーゼル数は 509203、最小のブリエ数は 3316923598096294713661 かどうか。
• シェルピンスキー数のうち、最小の素数は 271129 か。また、シェルピンスキー数の最初の2個は 78557、271129 か。
• 基底5における最小のシェルピンスキー数は 159986、最小のリーゼル数は 346802、最小のブリエ数は 120538009895207932^[1] かどうか。
• 何個組までの社交数が存在するか。
• 3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個かどうか。
• 素数計数関数 π (x) が対数積分 li (x) より大きくなる最小の x は何か。
• ソファ問題 : L字型の通路を通すことができる、ソファの面積の最大値は何か。
• 接吻数問題
• レピュニットの問題
• グラハム問題

その他

• ギルブレース予想（英語版）
• 完全直方体（英語版）
• ヒルベルトの23の問題のうち、第8の問題、第12の問題、第16の問題、第23の問題の4題。
• Generalized star height problem
• シャヌエル予想（英語版）
• ルジャンドル予想
• 2つのブラックホールが融合する、という現象のモデル化
• オイラーの定数 γ は無理数か。
• 合同数の問題
• P = L かどうか。
• NL = L かどうか。
• フィボナッチ数列の逆数和は超越数かどうか。
• ブニャコフスキー予想
• コンウェイの問題
• バシャドスキー・チェコッティ・大栗・ヴァファ予想
• エルデシュ＝シュトラウス予想
• 指数時間仮説
• ケーテ予想
• 単位正方形の有理距離問題（Rational Distance Problem）
• 素数に関連する未解決の問題
• 約数の和に関連する未解決の問題

分野別

加法的整数論

加法的整数論については、加法的整数論（英語版）を参照されたい。

• ビール予想
• フェルマー＝カタラン予想 (en:Fermat–Catalan conjecture)
• ゴールドバッハ予想 (en:Goldbach's conjecture)
• ウェアリングの問題 (The values of g(k) and G(k) in en:Waring's problem)
• コラッツ予想 (en:Collatz conjecture)(3n + 1 conjecture)
• ランダー・パーキン・セルフリッジ予想
• Diophantine quintuples
• ギルブレース予想（英語版）
• 等差数列に関するエルデシュ予想（英語版）
• Erdős–Turán conjecture on additive bases
• Pollock octahedral numbers conjecture
• スコーレム問題
• Determine growth rate of r_k(N) (see Szemerédi's theorem)
• Minimum overlap problem

代数

代数幾何については「代数幾何」を参照

• 可換環のホモロジカル予想（英語版）
• ヒルベルトの23の問題の16番目 (en:Hilbert's sixteenth problem)
• ヒルベルトの23の問題の15番目 (en:Hilbert's fifteenth problem)
• アダマール予想 (en:Hadamard conjecture)
• ジャコブソン予想 (en:Jacobson's conjecture)
• Existence of (perfect cuboids) and associated (en:Cuboid conjectures)
• (Zauner's conjecture（英語版）): existence of (en:SIC-POVM)s in all dimensions
• (Wild Problem（英語版）): Classification of pairs of n×n matrices under simultaneous conjugation and problems containing it such as a lot of classification problems
• ケーテ予想 (en:Köthe conjecture)
• (en:Birch–Tate conjecture)
• セール予想 (Serre's conjecture II)
• (en:Bombieri–Lang conjecture)
• (en:Farrell–Jones conjecture)
• ボスト予想 (Bost conjecture)
• (en:Uniformity conjecture)
• (en:Kaplansky's conjecture)
• (en:Kummer–Vandiver conjecture)
• (en:Serre's multiplicity conjectures)
• (en:Pierce–Birkhoff conjecture)
• (en:Eilenberg–Ganea conjecture)
• グリーン予想（英語版）
• (en:Grothendieck–Katz p-curvature conjecture)
• (en:Sendov's conjecture)
• ゴールマハティヒ予想 (en:Goormaghtigh conjecture)

代数幾何

代数幾何については「代数幾何」を参照

• アンドレ・オールト予想（英語版）（André–Oort conjecture）
• バスの予想(Bass conjecture）
• Deligne conjecture
• Fröberg conjecture
• 藤田予想（英語版）
• Hartshorne conjectures
• Manin conjecture
• 中井予想
• Resolution of singularities in characteristic p
• 代数的サイクルの標準予想(en:Standard conjectures on algebraic cycles)
• Section conjecture
• テイト予想 (代数幾何学)(en:Tate conjecture)
• Virasoro conjecture
• Whitehead conjecture
• Zariski multiplicity conjecture

代数的数論

代数的数論については「代数的数論」を参照

• Are there infinitely many real quadratic number fields with unique factorization (類数問題)
• Characterize all algebraic number fields that have some power basis.
• Stark conjectures (including Brumer–Stark conjecture)

解析

解析については「解析」を参照

• ヤコビアン予想(The Jacobian conjecture)
• Schanuel's conjecture and four exponentials conjecture
• レーマーの予想(en:Lehmer's conjecture)
• Pompeiu problem
• γ(オイラーの定数),π + e, π − e, πe, π/e, π^e, π^√2, π^π、 e^π2, ln π, 2^e, e^e, カタランの定数, ヒンチンの定数（英語版）, これらは代数的無理数(代数的数であり、無理数でもある数)か、超越数か？これらの無理数度の値は何か？
• Khabibullin’s conjecture on integral inequalities
• ヒルベルトの23の問題の13番目(en:Hilbert's thirteenth problem)
• Vitushkin's conjecture

組合せ論

組合せ論については「組合せ論」を参照

• 魔方陣の数 (sequence A006052 in OEIS )
• Number of magic tori (sequence A270876 in OEIS )
• Finding a formula for the probability that two elements chosen at random generate the symmetric group
• en:Union-closed sets conjecture: for any family of sets closed under sums there exists an element (of the underlying space) belonging to half or more of the sets
• en:Lonely runner conjecture: if runners with pairwise distinct speeds run round a track of unit length, will every runner be "lonely" (that is, be at least a distance from each other runner) at some time?
• en:Singmaster's conjecture: is there a finite upper bound on the multiplicities of the entries greater than 1 in Pascal's triangle?
• en:1/3–2/3 conjecture : does every finite partially ordered set that is not totally ordered contain two elements x and y such that the probability that x appears before y in a random linear extension is between 1/3 and 2/3?
• unicity conjecture for Markov numbers
• balance puzzle ^[14]

離散幾何学

代数幾何については「代数幾何」を参照

• Solving the happy ending problem for arbitrary
• Finding matching upper and lower bounds for k-sets and halving lines
• The Hadwiger conjecture on covering n-dimensional convex bodies with at most 2ⁿ smaller copies
• The Kobon triangle problem on triangles in line arrangements
• The McMullen problem on projectively transforming sets of points into convex position
• Ulam's packing conjecture about the identity of the worst-packing convex solid
• Filling area conjecture
• Hopf conjecture
• 掛谷予想（Kakeya conjecture）

ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学については「ユークリッド幾何学」を参照

• The einstein problem – does there exist a two-dimensional shape that forms the prototile for an aperiodic tiling, but not for any periodic tiling?^[15]
• Inscribed square problem – does every Jordan curve have an inscribed square?^[16]
• Moser's worm problem – 平面内のすべての単位長曲線をカバーできる形状の最小領域は何か？^[17]
• ソファ問題 – 単位幅のL字型の廊下を通過できる形状の最大領域はどんな形か？^[18]
• Shephard's problem (a.k.a. Dürer's conjecture) – does every convex polyhedron have a net?^[19]
• トムソン問題 The Thomson problem - what is the minimum energy configuration of N particles bound to the surface of a unit sphere that repel each other with a 1/r potential (or any potential in general)?
• Falconer's conjecture
• g-conjecture
• Circle packing in an equilateral triangle
• Circle packing in an isosceles right triangle

力学系

力学系については「力学系」を参照

• Furstenberg conjecture – Is every invariant and ergodic measure for the action on the circle either Lebesgue or atomic?
• Margulis conjecture — Measure classification for diagonalizable actions in higher-rank groups
• MLC conjecture – Is the Mandelbrot set locally connected ?
• Weinstein conjecture - Does a regular compact contact type level set of a Hamiltonian on a symplectic manifold carry at least one periodic orbit of the Hamiltonian flow?
• Is every reversible cellular automaton in three or more dimensions locally reversible?^[21]

グラフ理論

グラフ理論については「グラフ理論」を参照

• Barnette's conjecture that every cubic bipartite three-connected planar graph has a Hamiltonian cycle
• The Erdős–Gyárfás conjecture on cycles with power-of-two lengths in cubic graphs
• The Erdős–Hajnal conjecture on finding large homogeneous sets in graphs with a forbidden induced subgraph
• The Hadwiger conjecture relating coloring to clique minors
• The Erdős–Faber–Lovász conjecture on coloring unions of cliques
• Harborth's conjecture that every planar graph can be drawn with integer edge lengths
• The total coloring conjecture
• The list coloring conjecture
• Hadwiger conjecture (en:Hadwiger conjecture)
• The Ringel–Kotzig conjecture on graceful labeling of trees
• How many unit distances can be determined by a set of n points? (see Counting unit distances)
• The Hadwiger–Nelson problem on the chromatic number of unit distance graphs
• Lovász conjecture
• Deriving a closed-form expression for the percolation threshold values, especially (square site)
• Tutte's conjectures that every bridgeless graph has a nowhere-zero 5-flow and every bridgeless graph without the Petersen graph as a minor has a nowhere-zero 4-flow
• Petersen coloring conjecture
• The reconstruction conjecture and new digraph reconstruction conjecture concerning whether or not a graph is recognizable by the vertex deleted subgraphs.
• The cycle double cover conjecture that every bridgeless graph has a family of cycles that includes each edge twice.
• Does a Moore graph with girth 5 and degree 57 exist?
• Conway's thrackle conjecture
• Negami's conjecture on the characterization of graphs with planar covers
• The Blankenship–Oporowski conjecture on the book thickness of subdivisions
• Hedetniemi's conjecture
• Vizing's conjecture（英語版）

群論

群論については「群論」を参照

• Is every finitely presented periodic group finite?
• The inverse Galois problem: is every finite group the Galois group of a Galois extension of the rationals?
• For which positive integers m, n is the free Burnside group B(m,n) finite? In particular, is B(2, 5) finite?
• Is every group surjunctive?
• Andrews–Curtis conjecture
• Herzog–Schönheim conjecture
• Does generalized moonshine exist?
• コクセター群の同型問題

モデル理論

モデル理論については「モデル理論」を参照

• Vaught's conjecture
• The Cherlin–Zilber conjecture: A simple group whose first-order theory is stable in is a simple algebraic group over an algebraically closed field.
• The Main Gap conjecture, e.g. for uncountable first order theories, for AECs, and for -saturated models of a countable theory.^[22]
• Determine the structure of Keisler's order^[23][24]
• The stable field conjecture: every infinite field with a stable first-order theory is separably closed.
• Is the theory of the field of Laurent series over decidable? of the field of polynomials over ?
• (BMTO) Is the Borel monadic theory of the real order decidable? (MTWO) Is the monadic theory of well-ordering consistently decidable?^[25]
• The Stable Forking Conjecture for simple theories^[26]
• For which number fields does Hilbert's tenth problem hold?
• Assume K is the class of models of a countable first order theory omitting countably many types. If K has a model of cardinality does it have a model of cardinality continuum?^[27]
• Shelah's eventual Categority conjecture: For every cardinal \lambda there exists a cardinal \mu(\lambda) such that If an AEC K with LS(K)<= \lambda is categorical in a cardinal above \mu(\lambda) then it is categorical in all cardinals above \mu(\lambda).^[22][28]
• Shelah's categoricity conjecture for L_{\omega_1,\omega}: If a sentence is categorical above the Hanf number then it is categorical in all cardinals above the Hanf number.^[22]
• Is there a logic L which satisfies both the Beth property and Δ-interpolation, is compact but does not satisfy the interpolation property?^[29]
• If the class of atomic models of a complete first order theory is categorical in the , is it categorical in every cardinal?^[30][31]
• Is every infinite, minimal field of characteristic zero algebraically closed? (minimal = no proper elementary substructure)
• Kueker's conjecture^[32]
• Does there exist an o-minimal first order theory with a trans-exponential (rapid growth) function?
• Lachlan's decision problem
• Does a finitely presented homogeneous structure for a finite relational language have finitely many reducts?
• Do the Henson graphs have the finite model property? (e.g. triangle-free graphs)
• The universality problem for C-free graphs: For which finite sets C of graphs does the class of C-free countable graphs have a universal member under strong embeddings?^[33]
• The universality spectrum problem: Is there a first-order theory whose universality spectrum is minimum?^[34]

数論

数論については「数論」を参照

• 大リーマン予想（英語版）(Grand Riemann hypothesis)
  • 一般化されたリーマン予想(en:Generalized Riemann hypothesis)
    • リーマン予想(en:Riemann hypothesis)
• n conjecture
• ヒルベルトの23の問題の9番目(en:Hilbert's ninth problem)
• ヒルベルトの23の問題の11番目(en:Hilbert's eleventh problem)
• ヒルベルトの23の問題の第12の問題 (en:Hilbert's twelfth problem)
• Carmichael's totient function conjecture
• Erdős–Straus conjecture
• Pillai's conjecture
• マーシャル・ホール予想（英語版）
• Lindelöf hypothesis
• Montgomery's pair correlation conjecture
• Hilbert–Pólya conjecture
• Grimm's conjecture
• Leopoldt's conjecture
• Do any odd perfect numbers exist?
• 完全数は、無限にあるか。
• 準完全数は存在するか。
• Do any odd weird numbers exist?
• リクレル数は存在するか。
• Is 10 a solitary number?
• Catalan–Dickson conjecture on aliquot sequences
• Do any Taxicab(5, 2, n) exist for n>1?
• ブロカールの問題(Brocard's problem: existence of integers, (n,m), such that n!+1 = m² other than n=4, 5, 7)
• Beilinson conjecture
• Littlewood conjecture
• スピロ予想（en:Szpiro's conjecture）
• ヴォイタ予想（en:Vojta's conjecture）
• ゴールマハティヒ予想（en:Goormaghtigh conjecture）
• Congruent number problem (a corollary to Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, per Tunnell's theorem)
• Lehmer's totient problem: if φ(n) divides n − 1, must n be prime?
• 友愛数は無数にあるか？
• Are there any pairs of amicable numbers which have opposite parity?
• 互いに素な友愛数のペアはあるか？
• 婚約数は無数にあるか？
• Are there any pairs of betrothed numbers which have same parity?
• The Gauss circle problem – how far can the number of integer points in a circle centered at the origin be from the area of the circle?
• Is π a normal number (its digits are "random")?^[35]
• Casas-Alvero conjecture
• Find value of De Bruijn–Newman constant
• 3つの立方数の和 : Which integers can be written as the sum of three perfect cubes?
• ABC予想

近年解かれた問題

• Pentagonal tiling（英語版）(2017)^[2]
• 弱いゴールドバッハ予想（2013年)7以上の任意の奇数は、3つの素数の和で表せるか。ハラルド・ヘルフゴットによる証明。^[3][4][5]
• 佐藤・テイト予想（2006年）
• ポアンカレ予想（2002年）
• カタラン予想（2002年）
• 加藤予想（2001年）
• 谷山・志村予想（1999年）
• ケプラー予想（1998年）
• ヒルベルトの23の問題の第18題（1998年）
• フェルマーの最終定理（1994年）
• ビーベルバッハ予想（ド・ブランジュの定理）(Bieberbach conjecture)（1985年）
• 四色定理（1977年）
• ヴェイユ予想（1974年）
• 連続体仮説（1963年）

出典

[脚注の使い方]

1. シェルピンスキー数としての被覆集合は{3, 13, 17, 313, 11489}、リーゼル数としての被覆集合は{3, 7, 19, 31, 829, 5167}である。
2. Wolchover, Natalie (July 11, 2017), “Pentagon Tiling Proof Solves Century-Old Math Problem”, Quanta Magazine, オリジナルのAugust 6, 2017時点におけるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20170806093353/https://www.quantamagazine.org/pentagon-tiling-proof-solves-century-old-math-problem-20170711/ July 18, 2017閲覧。
3. Helfgott, Harald A. (2013). "Major arcs for Goldbach's theorem". arXiv:1305.2897 [math.NT]。
4. Helfgott, Harald A. (2012). "Minor arcs for Goldbach's problem". arXiv:1205.5252 [math.NT]。
5. Helfgott, Harald A. (2013). "The ternary Goldbach conjecture is true". arXiv:1312.7748 [math.NT]。

関連項目

• ヒルベルトの23の問題
• スメイルの問題
• 数学の歴史