リーマン和(リーマンわ、英語: Riemann sum)とは、
実数区間
上で、
なる数列があるとし、
代表点
と数列の有限差分
が
を満たし、
区間
上で定義された実数値連続函数
があるとき、
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4063b9459e375d5733fea3a2d4221b693829c048)
のことである。
この
での極限が、リーマン積分
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ea71cec274d0393f6cd2a195e3114adbda1061a)
である[1]。
ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。
最初にリーマン和を左リーマン和
と右リーマン和
の形で導入したのはオイラーであるが、
それは「積分の定義」としてではなく「積分の近似式」としてであった。
以後、ラクロワ、ポアソンを経て、コーシーが、積分の定義とし採用する。
コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった
[2]
[3]。
"Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが,Cauchy は定積分をまず定義した後,
を定理として導いた.こうした発想の逆転も Cauchy に負う.[4]"
これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。
![{\displaystyle 0\leq x\leq 2}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/552a24764ecf04dfa89ed17f186678d779bdc73d)
における
![{\displaystyle y=x^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1108c4c9ee8ac7de90b77f9bd27415b13b6bf1)
の右リーマン和
被積分函数が単項式のとき
例えば、
で
のとき
等差数列
等差数列
をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1730a34ad67162b92d25d18873229e8c25302ba)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}+{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0363f389b6e097c34a4803ec9fef474c38fa0f8d)
となる[5]。
等比数列
等比数列
をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{\frac {2}{n}}+2^{\frac {1}{n}}+1}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbd8899a62d988e61e44c32ab48ac813b32e496d)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{-{\frac {2}{n}}}+2^{-{\frac {1}{n}}}+1}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b372198530194f52823ffe67c9ae593d3cdf4c80)
となる。
は
で単調増加函数なので、等差数列か等比数列かに拘わらず、左リーマン和と右リーマン和の間で
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c01c20511547b5bfd766d05558eaab1f6050a31)
の関係が成り立つ。
連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、
の極限で収束するので、
![{\displaystyle \int _{1}^{2}x^{2}dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}={\frac {7}{3}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f977f45e434b635c007d7a0aa9104d7c8e62755b)
が得られる。
積分の結果が対数となるとき
で
のとき
等比数列
をとると、
左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k-1}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fdb14ada2a425b82bc39307e8f8595d95082db)
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9324dea1b335a04337076419ef2aa93eb62ed266)
となる[6]。
は
で単調減少函数なので、左リーマン和と右リーマン和の間で
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\xi _{k}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2affcd2403e013696335075f8a55ddd5ffe2757)
の関係が成り立つ。
連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、
の極限で収束するので、
![{\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2eacc012bb4a03a5aba1315f34a15754c13a3b1)
が得られる。
『リーマン論文集』足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編訳
二キフォロスキー著、馬場良和訳『積分の歴史 - アルキメデスからコーシー, リーマンまで -』現代数学社, 1993, pp.190 - 191
安部齊『微積分の歩んだ道』森北出版, 1989, pp.194 - 195
遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.180 - pp.181
遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.182 - pp.183