リーマン和

リーマン和（リーマンわ、英語: Riemann sum）とは、 実数区間 ${\displaystyle I=[a,b]}$ 上で、数列 ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b}$ と その間の代表点 ${\displaystyle \xi _{k}(x_{k-1}\leq \xi _{k}\leq x_{k},k=1,2,3,\dots ,n)}$ があり、 数列のすべての有限差分 ${\displaystyle \Delta x_{k}:=x_{k}-x_{k-1}}$ が ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Delta x_{k}=0}$ を満たし、 区間 ${\displaystyle I=[a,b]}$ 上で定義された実数値連続函数 ${\displaystyle f}$ について、 ${\displaystyle n\to \infty }$ での極限が、 数列の種類によらずにひとつの有限確定値に収束するとき、 リーマン積分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}}$

が成り立つ。 このときの

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(\xi _{k})\Delta x_{k}}$

がリーマン和である^[1]。 ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。 最初にリーマン和を左リーマン和 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})\Delta x_{k}}$ と右リーマン和 ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\Delta x_{k}}$の形で導入したのはオイラーであるが、 それは「積分の定義」としてではなく「積分の近似式」としてであった。 以後、ラクロワ、ポアソンを経て、コーシーが、積分の定義とし採用する。 コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった ^{[2] [3]}。 "Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが，Cauchy は定積分をまず定義した後， ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(s)ds=f(x)}$ を定理として導いた．こうした発想の逆転も Cauchy に負う．^[4]" これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。

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  左リーマン和
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  右リーマン和
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  中点則

${\displaystyle 0\leq x\leq 2}$における ${\displaystyle y=x^{2}}$ の右リーマン和

リーマン和の具体例

被積分函数が単項式のとき

例えば、${\displaystyle [1,2]}$ で ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ のとき

等差数列

等差数列 ${\displaystyle x_{k}=1+{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$ をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}-{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(1+{\frac {k}{n}}\right)^{2}{\frac {1}{n}}={\frac {7}{3}}+{\frac {3}{2n}}+{\frac {1}{6n^{2}}}}$

となる^[5]。

等比数列

等比数列 ${\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$ をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k-1}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{\frac {2}{n}}+2^{\frac {1}{n}}+1}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left(2^{\frac {k}{n}}\right)^{2}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})={\frac {7}{2^{-{\frac {2}{n}}}+2^{-{\frac {1}{n}}}+1}}}$

となる。

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ は${\displaystyle [1,2]}$ で単調増加函数なので、等差数列か等比数列かに拘わらず、左リーマン和と右リーマン和の間で

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x_{k-1}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}\leq \sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}\Delta x_{k}}$

の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、${\displaystyle n\to \infty }$ の極限で収束するので、

${\displaystyle \int _{1}^{2}x^{2}dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\xi _{k}^{2}\Delta x_{k}={\frac {7}{3}}}$

が得られる。

積分の結果が対数となるとき

${\displaystyle [1,2]}$ で ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ のとき

等比数列 ${\displaystyle x_{k}=2^{\frac {k}{n}}\;(k=0,1,2,\dots ,n)}$ をとると、 左リーマン和と右リーマン和は、それぞれ、

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k-1}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{\frac {k}{n}}}}\,(2^{\frac {k}{n}}-2^{\frac {k-1}{n}})=n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}$

となる^[6]。 ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ は${\displaystyle [1,2]}$ で単調減少函数なので、左リーマン和と右リーマン和の間で

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k-1}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\xi _{k}}}\Delta x_{k}\geq \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{x_{k}}}\Delta x_{k}}$

の関係が成り立つ。 連続函数の左リーマン和と右リーマン和は、${\displaystyle n\to \infty }$ の極限で収束するので、

${\displaystyle \int _{1}^{2}{\frac {1}{x}}dx=\lim _{n\to \infty }n\left(2^{\frac {1}{n}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-2^{-{\frac {1}{n}}}\right)}$

が得られる。

参考文献

1. 『リーマン論文集』足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編訳
2. 二キフォロスキー著、馬場良和訳『積分の歴史 - アルキメデスからコーシー, リーマンまで -』現代数学社, 1993, pp.190 - 191
3. 安部齊『微積分の歩んだ道』森北出版, 1989, pp.194 - 195
4. 岩波『数学辞典』第四版, p.106
5. 遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.180 - pp.181
6. 遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.182 - pp.183