数学において,はめ込み (immersion) は可微分多様体の間の可微分写像であって微分がいたるところ単射であるもののことである[1].明示的には,f: M → N がはめ込みであるとは,
が M のすべての点 p において単射関数であることをいう(ここで TpX は多様体 X の点 p における接空間を表す).同じことであるが,f がはめ込みであるとは,その微分が M の次元に等しい定数階数(英語版)を持つことである[2]:
関数 f それ自身は単射である必要はない.
関連概念は埋め込みである.滑らかな埋め込みは位相的な埋め込みでもある単射はめ込み f: M → N であり,したがって M は N におけるその像に微分同相である.はめ込みはちょうど局所的な埋め込みである――つまり,任意の点 x ∈ M に対して,x のある近傍U ⊂ M が存在して,f: U → N が埋め込みとなり,逆に局所的な埋め込みははめ込みである[3].無限次元多様体に対して,これははめ込みの定義として取られることもある[4].
M がコンパクトならば,単射なはめ込みは埋め込みであるが,M がコンパクトでなければ,そうとは限らない;連続全単射と同相を比較せよ.
多様体M から N への2つのはめ込み f と g の間の正則ホモトピー(英語版)は次のような可微分関数 H: M × [0, 1] → N と定義される:すべての t∈ [0, 1] に対して,すべての x ∈ M に対して Ht(x) = H(x, t) によって定義される関数 Ht: M → N ははめ込みで,H0 = f, H1 = g である.正則ホモトピーはしたがってはめ込みを通したホモトピーである.
ハスラー・ホイットニーは1940年代にはめ込みと正則ホモトピーの系統的な研究を創始し,2m < n + 1 に対して m 次元多様体から n 次元多様体へのすべての写像 f: Mm → Nn がはめ込みにホモトープであること,そして 2m < n に対しては実は埋め込みにホモトープであることを証明した.これらがホイットニーのはめ込み定理(英語版)とホイットニーの埋め込み定理(英語版)である.
スティーブン・スメールははめ込み f: Mm → Rn の正則ホモトピー類をあるスティーフェル多様体(英語版)のホモトピー群として表した.sphere eversion(英語版) は特に著しい結果であった.
Morris Hirsch(英語版) は Smale の表示を任意の n 次元多様体 Nn 内の任意の m 次元多様体 Mm のはめ込みの正則ホモトピー類のホモトピー論による記述に一般化した.
Bishop,R.L.;Goldberg,S.I.(1968),Tensor Analysis on Manifolds(First Dover 1980 ed.),The Macmillan Company,ISBN0-486-64039-6
Bruce,J. W.;Giblin,P. J.(1984),Curves and Singularities,Cambridge University Press,ISBN0-521-42999-4
Carter,J. Scott;Saito,Masahico(1998),“Surfaces in 3-space that do not lift to embeddings in 4-space”,Knot theory (Warsaw, 1995),Banach Center Publ.,42,Polish Acad. Sci., Warsaw,pp.29–47,MR1634445,CiteSeerx:10.1.1.44.1505.
Carter,J. Scott;Saito,Masahico(1998),Knotted Surfaces and Their Diagrams,Mathematical Surveys and Monographs,55,pp.258,ISBN978-0-8218-0593-0
Hirsch,Morris W.(1959),“Immersions of manifolds”,Transactions of the American Mathematical Society93: 242–276,doi:10.2307/1993453,MR0119214.
Kobayashi,Shoshichi;Nomizu,Katsumi(1963),Foundations of Differential Geometry, Volume 1,New York:Wiley-Interscience
Koschorke,Ulrich(1979),“Multiple points of immersions, and the Kahn-Priddy theorem”,Mathematische Zeitschrift169(3): 223–236,doi:10.1007/BF01214837,MR554526.
Kosinski,Antoni Albert(2007)[1993],Differential manifolds,Mineola, New York:Dover Publications,ISBN978-0-486-46244-8
Lang,Serge(1999),Fundamentals of Differential Geometry,Graduate Texts in Mathematics,New York:Springer,ISBN978-0-387-98593-0
Massey,W. S.(1960),“On the Stiefel-Whitney classes of a manifold”,American Journal of Mathematics82: 92–102,doi:10.2307/2372878,MR0111053.
Smale,Stephen(1958),“A classification of immersions of the two-sphere”,Transactions of the American Mathematical Society90: 281–290,doi:10.2307/1993205,MR0104227.
Spivak,Michael(1999)[1970],A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 1),Publish or Perish,ISBN0-914098-70-5
Spring,David(2005),“The golden age of immersion theory in topology: 1959–1973: A mathematical survey from a historical perspective”,Bulletin of the American Mathematical Society,New Series42(2): 163–180,doi:10.1090/S0273-0979-05-01048-7,MR2133309.
Szekeres,Peter(2004),A course in modern mathematical physics: groups, Hilbert space and differential geometry,Cambridge, United Kingdom:Cambridge University Press,ISBN978-0-521-82960-1
Wall,C. T. C.(1999),Surgery on compact manifolds,Mathematical Surveys and Monographs,69(Second ed.),Providence, RI:American Mathematical Society,doi:10.1090/surv/069,ISBN0-8218-0942-3,MR1687388.