電磁場テンソル(でんじばテンソル)とは、電磁場を相対性理論に基づいた4次元時空の形式で記述した2階の反対称テンソル場である。以後、相対論と言えば、特に断りがなければ特殊相対性理論を指す。
電磁場の強度(field strength)F は二階のテンソル
![{\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77fbf0c39a13f9706357f83b041774749598ded1)
と定義される[1]。
ここで A は相対論的な4元ベクトルの電磁ポテンシャル
![{\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\boldsymbol {A}}\right),~A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\left(-{\frac {\phi }{c}},{\boldsymbol {A}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d491181b867d7345e70ae8fe7acb9fbeef399698)
である[註 1]。
また、微分も相対論的な4元ベクトル
![{\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fee7e896ced4e852b3f4221df4a3ce0dd05c17f1)
である。
定義から電磁場テンソルは明らかに反対称テンソルである。従って独立成分は6つある。
これは3次元空間のベクトル場である電場の強度 E と磁束密度 B の各成分に対応する。
電場の強度と磁束密度は3次元空間の電磁ポテンシャルによって
![{\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3060177d69b03900747d54980f512e420d7869)
![{\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77a63aefe056999429c4c27ac7f22471c3a53f10)
と表される。
あるいは各成分毎に
![{\displaystyle E_{j}/c=\partial _{j}A_{0}-\partial _{0}A_{j}=-F_{0j}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cffc16e7a1762bf95a8f3731e9e6a5cda969ed7)
![{\displaystyle B_{i}\epsilon _{ijk}=\partial _{j}A_{k}-\partial _{k}A_{j}=F_{jk}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2908eb53686ba76be94f6201e07d3ab13a09ca4a)
と書くことが出来る[註 1]。
具体的には
![{\displaystyle (F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{x}/c,-E_{y}/c,-E_{z}/c)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab40a2fd423bb2adb6b75e7deaacce2ade55abd5)
![{\displaystyle (F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{x},B_{y},B_{z})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba5b9555a712590a4a308c7105654131ec7b4a6)
である[註 1]。上付きの
は
![{\displaystyle (F^{01},F^{02},F^{03})=(E_{x}/c,E_{y}/c,E_{z}/c)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6c70e9dffdd718f4dd2a256f8f2cc05c0efc2c9)
![{\displaystyle (F^{23},F^{31},F^{12})=(B_{x},B_{y},B_{z})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/850c0e393aa38489f9aadda0e975f54df6d9485d)
となる[註 1]。それぞれ行列の形で表せば
![{\displaystyle (F_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\\\end{bmatrix}},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1f918da21953ba36a14dc2d2521fd811cea40c6)
![{\displaystyle (F^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/341260127945ae2680f2e87548bb78136880ffa4)
となる。
双対テンソル
完全反対称テンソル ε を用いれば、電磁場の強度 F に双対なテンソル
![{\displaystyle {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f195dcb3f8d4f2ee1c5a78e1152015db5a9797e5)
が定義される[2]。
具体的には
![{\displaystyle ({\tilde {F}}^{01},{\tilde {F}}^{02},{\tilde {F}}^{03})=(F_{23},F_{31},F_{12})=(B_{x},B_{y},B_{z})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e4c9c2aefe8ee4decd928699b3a8f7a3bf10484)
![{\displaystyle ({\tilde {F}}^{23},{\tilde {F}}^{31},{\tilde {F}}^{12})=(F_{01},F_{02},F_{03})=(-E_{x}/c,-E_{y}/c,-E_{z}/c)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf2d55ea146094005a4e53eec9ef5ad565eefbef)
であり、行列の形で表せば
![{\displaystyle ({\tilde {F}}^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-E_{z}/c&E_{y}/c\\-B_{y}&E_{z}/c&0&-E_{x}/c\\-B_{z}&-E_{y}/c&E_{x}/c&0\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/805986b026cc368bf5345a429a3b730a00057507)
となる。
媒質中の電磁場
媒質中での電磁場を表す電束密度 D と磁場の強度 H は、電磁場の強度と同様に二階のテンソル G によって相対論的な形式で記述される。
それぞれの成分は具体的には
![{\displaystyle (G^{01},G^{02},G^{03})=(D_{x},D_{y},D_{z})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b59b4853301c5ab301f2a7bab942db5a151b6fe6)
![{\displaystyle (G^{23},G^{31},G^{12})=(H_{x}/c,H_{y}/c,H_{z}/c)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6482e0a2b85130d388529b99c59216a2b461879)
である[3]。このテンソル G はサブ電磁テンソルとも呼ばれる。
サブ電磁テンソル G は電磁場の強度 F と
![{\displaystyle G^{\mu \nu }={\frac {1}{Z_{0}}}F^{\mu \nu }+P^{\mu \nu }={\frac {1}{c\mu _{0}}}F^{\mu \nu }+P^{\mu \nu }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ca41d307b03e82dd0efd35460f7dde0aabdb6f)
で関係付けられる。ここで P は分極テンソルであり、その成分は誘電分極 P と磁化 M である。
具体的には
![{\displaystyle (P^{01},P^{02},P^{03})=(P_{x},P_{y},P_{z})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd26ad96b4b5d27cc75f74b3901e741372412d9f)
![{\displaystyle (P^{23},P^{31},P^{12})=(-M_{x}/c,-M_{y}/c,-M_{z}/c)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9269d5d262afcbc748b5ad80d09e8148549d970b)
である。
サブ電磁テンソル G と分極テンソル P をそれぞれ行列の形で表せば
![{\displaystyle (G^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&D_{x}&D_{y}&D_{z}\\-D_{x}&0&H_{z}/c&-H_{y}/c\\-D_{y}&-H_{z}/c&0&H_{x}/c\\-D_{z}&H_{y}/c&-H_{x}/c&0\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bfc939602dc7e864a73fd730b7fa6d22b8d66a)
![{\displaystyle (P^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&P_{x}&P_{y}&P_{z}\\-P_{x}&0&-M_{z}/c&M_{y}/c\\-P_{y}&M_{z}/c&0&-M_{x}/c\\-P_{z}&-M_{y}/c&M_{x}/c&0\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4eb3b6078fea8503943691d437e2303456b6412)
である。
球座標表示
球面座標系 (ct, r, θ, φ) による4元ポテンシャルの成分表示は
![{\displaystyle A_{\mu }=\left(-{\frac {\phi }{c}},A_{r},rA_{\theta },rA_{\varphi }\sin \theta \right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac40f5657c0aa865434b05a49deb45d43252da66)
であり、電磁場強度 F として
![{\displaystyle (F_{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&-E_{r}/c&-rE_{\theta }/c&-rE_{\varphi }\sin \theta /c\\E_{r}/c&0&rB_{\varphi }&-rB_{\theta }\sin \theta \\rE_{\theta }/c&-rB_{\varphi }&0&r^{2}B_{r}\sin \theta \\rE_{\varphi }\sin \theta /c&rB_{\theta }\sin \theta &-r^{2}B_{r}\sin \theta &0\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d5061b849df67fbfbc995e0683c94923dc54466)
が得られる。
平坦な時空のミンコフスキー計量とその逆行列は球座標において
![{\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,1,r^{2},r^{2}\sin ^{2}\theta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86781cb55db3326c5e3a45680048c52cf060ad22)
![{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} (-1,1,{\tfrac {1}{r^{2}}},{\tfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634ffe8b13893fb434847dc9ea0aa30b56d2032b)
であり、電磁場強度の添え字を上げると
![{\displaystyle (F^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&E_{r}/c&E_{\theta }/cr&E_{\varphi }/cr\sin \theta \\-E_{r}/c&0&B_{\varphi }/r&-B_{\theta }/r\sin \theta \\-E_{\theta }/cr&-B_{\varphi }/r&0&B_{r}/r^{2}\sin \theta \\-E_{\varphi }/cr\sin \theta &B_{\theta }/r\sin \theta &-B_{r}/r^{2}\sin \theta &0\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b530c2bde5f3769c6c75c46113e9c6868da90b94)
となる。
例えば、原点に点電荷 q が存在するときの電磁場テンソルは
![{\displaystyle (F^{\mu \nu })={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {q}{r^{2}}}&0&0\\-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {q}{r^{2}}}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/960462defe78404b00f9348db4bac99ca4772683)
で表される。
電磁場テンソルによって、相対論的な形でマクスウェルの方程式を記述することができる。
定義からビアンキ恒等式
![{\displaystyle \partial _{\rho }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \rho }+\partial _{\nu }F_{\rho \mu }=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/677b1dc9fcc0409241132e6b77e6b23263fe5b70)
が成り立つ[4]。
双対テンソルを用いれば
![{\displaystyle \partial _{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\partial _{\mu }F_{\rho \sigma }=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c76bc1ea67e07f3a46b7dd488fab1db37cb01c5)
と表すことも出来る[4]。
この式は添え字 ν = 0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ
![{\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {B}}=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c527b0f1a8b6c580116e816d27522295fb884d)
![{\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {E}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}=\mathbf {0} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1133cf34dba83f34b1fec8ccdb9f02e28157290f)
と対応する。
自由空間における電磁場の運動方程式は
![{\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=-{\frac {Z_{0}}{c}}\,j^{\nu }=-\mu _{0}j^{\nu }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74abdd9f588c2ad595cbe6201ad01933a031944f)
と表される。
ここで j は4元電流密度である。
この式は添え字 ν = 0,1,2,3 についての4つの方程式であり、それぞれ
![{\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {E}}={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173fd4c3f79835c4a17f3b9bcfef44e7915685d3)
![{\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {B}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial {\boldsymbol {E}}}{\partial t}}=\mu _{0}{\boldsymbol {j}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb72133e8377582b03077e74dc37b885f6c8b7f8)
と対応する。
媒質中の運動方程式
媒質中の運動方程式は
![{\displaystyle \partial _{\mu }G^{\mu \nu }=-{\frac {1}{c}}\,j^{\nu }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e92fce47f26fb84e1dd10c4a9592f0d6b082c1e1)
と表される。
成分ごとにそれぞれ
![{\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4dac22c938945a023b182311df5a96557452c1)
![{\displaystyle \nabla \times {\boldsymbol {H}}-{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}={\boldsymbol {j}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/327842f9e3115222af4e5564539516ed200e2141)
である。
電磁場テンソルは荷電粒子に作用するローレンツ力を相対論的に記述する際に現れる。
相対論的な粒子の位置を X = (ct, r) で表すとき、電荷 q を帯びた荷電粒子に作用するローレンツ力は
![{\displaystyle {\dot {p}}_{\mu }=-q{\dot {X}}^{\nu }F_{\nu \mu }(X)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03875b9ee20a3af913a4a45f384e3ccd51dd0954)
となる[1]。
ここで p は粒子の4元運動量である。ドットは運動のパラメータによる微分である。
時空の曲率、すなわち重力場がある場合に、偏微分はテンソルとはならず、レヴィ・チヴィタ接続を導入して共変微分への置き換えが必要となる。しかし、電磁場強度 F は偏微分による定義を変更することなくテンソルである。反対称性により共変微分の接続が相殺されるため
![{\displaystyle F_{\mu \nu }={\mathcal {D}}_{\mu }A_{\nu }-{\mathcal {D}}_{\nu }A_{\mu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d705bacaead177dbc489379ed9891ade0277d8)
となる[5]。ビアンキ恒等式は定義から成り立つので変更を要しないが、運動方程式は
![{\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }F^{\mu \nu }=-{\frac {Z_{0}}{c}}\,j^{\nu }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d3ec5dfa2c0ddb2307121988d86a2117c38394)
であり[5]、共変微分への置き換えが必要となる。