球面座標 (r,θ,φ) での位置ベクトル x の偏微分により

を定義する。
標準基底 ex , ey , ez を用いれば、位置ベクトルの微分は

となるので、具体的に

で表される。
標準内積を考えれば


となり、これらは正規直交基底である。
また3次元空間においてはベクトル積を考えることができて、球面座標の単位ベクトル間のベクトル積は

となる。したがって、球面座標は r,θ,φ の順番で向き付けられた座標である。
曲面上の点が u, v でパラメータ付けされるとき、面積素ベクトルは

で与えられる。
任意のベクトル場 A は


によって成分表示される。
ベクトル場の球面座標による微分は



で与えられる。
スカラー場の勾配
スカラー場 f(x) の勾配は

で定義されるベクトル場である。球面座標で表した位置ベクトルの微分が

であることから、球面座標系でのスカラー場 f の勾配は

となる。ベクトル微分演算子を

で定めれば

と書ける。
ベクトル場の発散
ベクトル場 A の発散は

で定義されるスカラー場である。球座標で表した体積素と面積素を用いれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {div} {\boldsymbol {A}})\,r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi &=r^{2}A_{r}\sin \theta \,d\theta \wedge d\phi +rA_{\theta }\sin \theta \,d\phi \wedge dr+rA_{\phi }\,dr\wedge d\theta \\&=\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r}\sin \theta )+{\frac {\partial }{\partial \theta }}(rA_{\theta }\sin \theta )+{\frac {\partial }{\partial \phi }}(rA_{\phi })\right]dr\,d\theta \,d\phi \\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3dae62c22c4078cacf0835b23cf17f36c123496)
となるので、球面座標系でのベクトル場の発散として

が得られる。
ベクトル微分演算子を用いれば

と書ける。
ベクトル場の回転
ベクトル場 A の回転は

で定義されるベクトル場である。
球座標の面積素と線素を用いれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})_{r}\,&r^{2}\sin \theta \,d\theta \wedge d\phi +(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})_{\theta }\,r\sin \theta \,d\phi \wedge dr+(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})_{\phi }\,r\,dr\wedge d\theta \\&=A_{r}\,dr+rA_{\theta }\,d\theta +rA_{\phi }\sin \theta \,d\phi \\&=\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}(rA_{\phi }\sin \theta )-{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial \phi }}\right]d\theta \wedge d\phi +\left[{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\phi }\sin \theta )\right]d\phi \wedge dr+\left[{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]dr\wedge d\theta \end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6ff4e3ae2ae17dd5bdd624f6e442f0a8eca1d6)
となるので、球面座標系でのベクトル場の回転として
![{\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}={\frac {{\boldsymbol {e}}_{r}}{r\sin \theta }}\left[{\frac {\partial (A_{\phi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial (rA_{\phi })}{\partial r}}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r}}\left[{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc76c40a15ebbca4a80221a260b09ef43525522)
が得られる。
ベクトル微分演算子を用いれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} \,{\boldsymbol {A}}&=\nabla \times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {e}}_{r}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \phi }}\\&={\frac {{\boldsymbol {e}}_{r}}{r\sin \theta }}\left[{\frac {\partial (A_{\phi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial (rA_{\phi })}{\partial r}}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r}}\left[{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3234517224dfb96536cab467986b64675500ea7)
となる。