球面座標 (r,θ,φ) での位置ベクトル x の偏微分により
![{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r}={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial r}},~{\boldsymbol {e}}_{\theta }={\frac {1}{r}}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial \theta }},~{\boldsymbol {e}}_{\phi }={\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial \phi }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4aa6315a7b3bb89df4c52b67d5713c5830cbba24)
を定義する。
標準基底 ex , ey , ez を用いれば、位置ベクトルの微分は
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\boldsymbol {x}}&={\boldsymbol {e}}_{x}\,dx+{\boldsymbol {e}}_{y}\,dy+{\boldsymbol {e}}_{z}\,dz\\&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{x}&{\boldsymbol {e}}_{y}&{\boldsymbol {e}}_{z}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\\\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\boldsymbol {e}}_{x}&{\boldsymbol {e}}_{y}&{\boldsymbol {e}}_{z}\\\end{pmatrix}}{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}}{\begin{pmatrix}dr\\d\theta \\d\phi \\\end{pmatrix}}\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3ecafbdd0280df4e43ae61c8bd988e33975fe07)
となるので、具体的に
![{\displaystyle {\begin{cases}{\boldsymbol {e}}_{r}={\boldsymbol {e}}_{x}\sin \theta \,\cos \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\sin \theta \,\sin \phi +{\boldsymbol {e}}_{z}\cos \theta \\{\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{x}\cos \theta \,\cos \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\cos \theta \,\sin \phi -{\boldsymbol {e}}_{z}\sin \theta \\{\boldsymbol {e}}_{\phi }=-{\boldsymbol {e}}_{x}\sin \phi +{\boldsymbol {e}}_{y}\cos \phi \\\end{cases}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351af5dfbd9a23440f350b452fcf27be53d61515)
で表される。
標準内積を考えれば
![{\displaystyle |{\boldsymbol {e}}_{r}|^{2}=|{\boldsymbol {e}}_{\theta }|^{2}=|{\boldsymbol {e}}_{\phi }|^{2}=1}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccc104c3173794fd93f5f793bfe9dea36e34b757)
![{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {e}}_{\phi }={\boldsymbol {e}}_{\theta }\cdot {\boldsymbol {e}}_{\phi }=0}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81fd19043c775b44f82a2becde0865cd4e3566e)
となり、これらは正規直交基底である。
また3次元空間においてはベクトル積を考えることができて、球面座標の単位ベクトル間のベクトル積は
![{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{r}\times {\boldsymbol {e}}_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{\phi },~{\boldsymbol {e}}_{\phi }\times {\boldsymbol {e}}_{r}={\boldsymbol {e}}_{\theta },~{\boldsymbol {e}}_{\theta }\times {\boldsymbol {e}}_{\phi }={\boldsymbol {e}}_{r}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac810dcd947d48091e6aa3268e01ebe78e3b423)
となる。したがって、球面座標は r,θ,φ の順番で向き付けられた座標である。
曲面上の点が u, v でパラメータ付けされるとき、面積素ベクトルは
![{\displaystyle {\begin{aligned}d{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {x}}}{\partial u}}\times {\frac {\boldsymbol {x}}{\partial v}}\,du\wedge dv\\&={\boldsymbol {e}}_{r}\,r^{2}\sin \theta \,d\theta \wedge d\phi +{\boldsymbol {e}}_{\theta }\,r\sin \theta \,d\phi \wedge dr+{\boldsymbol {e}}_{\phi }\,r\,dr\wedge d\theta \\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81f8249d1d104f3b36084966cd2a6b5a82a887b)
で与えられる。
任意のベクトル場 A は
![{\displaystyle A_{r}={\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\boldsymbol {A}},~A_{\theta }={\boldsymbol {e}}_{\theta }\cdot {\boldsymbol {A}},~A_{\phi }={\boldsymbol {e}}_{\phi }\cdot {\boldsymbol {A}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8654e21851d52595608f011d227dee39f18a8c54)
![{\displaystyle {\boldsymbol {A}}=A_{r}{\boldsymbol {e}}_{r}+A_{\theta }{\boldsymbol {e}}_{\theta }+A_{\phi }{\boldsymbol {e}}_{\phi }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53429cb80a7630d9aef3efd8b7edf3da1771277b)
によって成分表示される。
ベクトル場の球面座標による微分は
![{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial r}}={\frac {\partial A_{r}}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{r}+{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial r}}{\boldsymbol {e}}_{\phi }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59435975e9cd4486bd75106b10acdcc344eabf5e)
![{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \theta }}=\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}-A_{\theta }\right){\boldsymbol {e}}_{r}+\left({\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+A_{r}\right){\boldsymbol {e}}_{\theta }+{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \theta }}{\boldsymbol {e}}_{\phi }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28e4ca1d597fb068c8bf4cdfeacd14c3ec89dd92)
![{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \phi }}=\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-A_{\phi }\sin \theta \right){\boldsymbol {e}}_{r}+\left({\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}-A_{\phi }\cos \theta \right){\boldsymbol {e}}_{\theta }+\left({\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}+A_{r}\sin \theta +A_{\theta }\cos \theta \right){\boldsymbol {e}}_{\phi }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b24aeea82166d32a166de68535da73070fbcce)
で与えられる。
スカラー場の勾配
スカラー場 f(x) の勾配は
![{\displaystyle df=(\mathrm {grad} \,f)\cdot d{\boldsymbol {x}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed34963baa3119f68e45dceec2398cf6e176a21a)
で定義されるベクトル場である。球面座標で表した位置ベクトルの微分が
![{\displaystyle d{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {e}}_{r}\,dr+r{\boldsymbol {e}}_{\theta }\,d\theta +r\sin \theta \,{\boldsymbol {e}}_{\phi }\,d\phi }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a8d1469fb96944919168b8d7088bc62448b6ebc)
であることから、球面座標系でのスカラー場 f の勾配は
![{\displaystyle \mathrm {grad} \,f={\boldsymbol {e}}_{r}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a58b1b43a068c49fa88b92822fb47409fe8643)
となる。ベクトル微分演算子を
![{\displaystyle \nabla ={\boldsymbol {e}}_{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \phi }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a52733ac501663d0aedbeef6d0bb74760f773e98)
で定めれば
![{\displaystyle \mathrm {grad} \,f=\nabla f}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70b776180bb0928226edbc450b11885c1963a239)
と書ける。
ベクトル場の発散
ベクトル場 A の発散は
![{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=(\operatorname {div} {\boldsymbol {A}})\,dV}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd2ef1ee161fc657b9c5877e72f862604a6c1e4b)
で定義されるスカラー場である。球座標で表した体積素と面積素を用いれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {div} {\boldsymbol {A}})\,r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\phi &=r^{2}A_{r}\sin \theta \,d\theta \wedge d\phi +rA_{\theta }\sin \theta \,d\phi \wedge dr+rA_{\phi }\,dr\wedge d\theta \\&=\left[{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r}\sin \theta )+{\frac {\partial }{\partial \theta }}(rA_{\theta }\sin \theta )+{\frac {\partial }{\partial \phi }}(rA_{\phi })\right]dr\,d\theta \,d\phi \\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3dae62c22c4078cacf0835b23cf17f36c123496)
となるので、球面座標系でのベクトル場の発散として
![{\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {A}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}A_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial (A_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351f44315f219de30c77b2f2f8830d497bc2613b)
が得られる。
ベクトル微分演算子を用いれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} \,{\boldsymbol {A}}&=\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {e}}_{r}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \phi }}\\&=\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial r}}+{\frac {2}{r}}A_{r}\right)+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+A_{\theta }\cot \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}\\&={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial (r^{2}A_{r})}{\partial r}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial (A_{\theta }\sin \theta )}{\partial \theta }}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\phi }}{\partial \phi }}\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53cd545e8f0eab0f3f7a606f455383241a63ea9e)
と書ける。
ベクトル場の回転
ベクトル場 A の回転は
![{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot d{\boldsymbol {x}}=(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})\cdot d{\boldsymbol {S}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35f1ae3c122f82dc850fe7f72045282646252030)
で定義されるベクトル場である。
球座標の面積素と線素を用いれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})_{r}\,&r^{2}\sin \theta \,d\theta \wedge d\phi +(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})_{\theta }\,r\sin \theta \,d\phi \wedge dr+(\operatorname {rot} {\boldsymbol {A}})_{\phi }\,r\,dr\wedge d\theta \\&=A_{r}\,dr+rA_{\theta }\,d\theta +rA_{\phi }\sin \theta \,d\phi \\&=\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}(rA_{\phi }\sin \theta )-{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial \phi }}\right]d\theta \wedge d\phi +\left[{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\phi }\sin \theta )\right]d\phi \wedge dr+\left[{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]dr\wedge d\theta \end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca6ff4e3ae2ae17dd5bdd624f6e442f0a8eca1d6)
となるので、球面座標系でのベクトル場の回転として
![{\displaystyle \operatorname {rot} {\boldsymbol {A}}={\frac {{\boldsymbol {e}}_{r}}{r\sin \theta }}\left[{\frac {\partial (A_{\phi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial (rA_{\phi })}{\partial r}}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r}}\left[{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dc76c40a15ebbca4a80221a260b09ef43525522)
が得られる。
ベクトル微分演算子を用いれば
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} \,{\boldsymbol {A}}&=\nabla \times {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {e}}_{r}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial r}}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \theta }}+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r\sin \theta }}\times {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial \phi }}\\&={\frac {{\boldsymbol {e}}_{r}}{r\sin \theta }}\left[{\frac {\partial (A_{\phi }\sin \theta )}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \phi }}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\theta }}{r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \phi }}-{\frac {\partial (rA_{\phi })}{\partial r}}\right]+{\frac {{\boldsymbol {e}}_{\phi }}{r}}\left[{\frac {\partial (rA_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right]\\\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3234517224dfb96536cab467986b64675500ea7)
となる。