この記事は、数学の中で、特別の名前を冠する関数の各記事を参照する一覧である。
ジョゼフ・リウヴィルは初等関数を次のように定義した。多項式を第 0 級初等関数、指数関数 ez と対数関数 log(z) を第 1 級初等関数、両者をあわせて、たかだか第 1 級初等関数と呼ぶ。以下、関数の合成を行うことで、たかだか第 n 級初等関数を帰納的に構成できる。たかだか第 n 級初等関数であって、たかだか第 n−1 級初等関数でないものを、第 n 級初等関数と呼ぶ。
- 多項式関数: 多項式は不定元のべきの定数倍と、それらの和のみからなり、不定元への値の代入が関数を定める。べき関数とも呼ばれる。多項式の次数 n により 「n 次関数」のようにも呼ばれる。
- 有理関数: 多項式の商で与えられる関数。分数関数、代数関数とも。
- 平方根: 二乗すると与えられた数になるような数を返す。
- 立方根: 三乗すると与えられた数になるような数を返す。
- 指数関数: ある定数の冪乗。特に、自然対数の底 e の冪乗を扱うことが多い。
- 対数関数: 指数関数の逆関数であり、指数を含む方程式を解くのに便利。
- 三角関数: 正弦関数 (sin)、余弦関数 (cos)、正接関数 (tan)など。幾何学や、周期的な現象を記述するために使われる。
- 双曲線関数: 双曲正弦関数 (sinh)、双曲余弦関数 (cosh) など。三角関数に似た関係式を持つ。
- グーデルマン関数: 双曲線関数と逆三角関数の合成関数。
主に整数論で使われる関数の一覧。
- σ 関数: 与えられた自然数の、各約数の累乗の総和。
- オイラーの φ 関数: 与えられた自然数以下で、その自然数と互いに素な自然数の個数。
- 分割関数: 与えられた正整数を、正整数の和で書き表す方法が、順序をのぞいて何通りあるか。そのパターン数を与える関数。
- メビウス関数:n が平方因子を持つ数ならば μ(n) = 0、n が相異なる偶数個の素数の積ならば μ(n) = 1、n が相異なる奇数個の素数の積ならば μ(n) = −1 と n によって3通りの値をとる関数。
- ゼータ関数[1]およびその類似物であるL関数:これらの関数と素数の間に深い関係があることは、リーマン予想で示唆されている。リーマン予想を仮定すると 素数の個数(与えられた数以下の素数 の個数。しばしば π(x) と記す)も精度の高い式が得られることが知られている。ディリクレ級数のひとつでもある。
固有の名前がついた関数を特殊関数というが、ここは他の分類に収まらないものの一覧。
- ディラックのデルタ関数: 0 以外の任意の実数に対しては 0 が対応し、0 を内点とする任意の区間上で独立変数を変化させていくときの(広義)積分の値が 1 であるような超関数。普通の意味での関数ではないが確率分布ではある。
ここは固有の名前がついた関数ではなく、名前のついた性質をもった関数の一覧。
Watson, G. N. (1995). A treatise on the theory of Bessel functions. Cambridge University Press.
平野鉄太郎. (1963). ベッセル関数入門, 日新出版. Lewin, L. (1991). Structural properties of polylogarithms (No. 37). American Mathematical Soc..
Higham, N. J. (2008). Functions of matrices: theory and computation. SIAM.
松浦武信, 吉田正廣, & 小泉義晴. (2003). 物理・工学のためのグリーン関数入門.
Ahlfors, L. V., Ahlfors, L. V., Ahlfors, L. V., & Ahlfors, L. V. (1966). Complex analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable (Vol. 2). New York: McGraw-Hill.
Nevanlinna, R., Behnke, H., Grauert, H., Ahlfors, L. V., Spencer, D. C., Bers, L., ... & Jenkins, J. A. (1970). Analytic functions (Vol. 11). Berlin: Springer.