縮小写像

縮小写像とは、距離空間 (M,d) における M からM への写像 f であり、ある定数 0 < k < 1 の実数が存在して

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}$

という条件が全ての x, y ∈ M について成り立つ写像である^[1]。完備距離空間上の縮小写像は、ただ一つの不動点を持つ^[2]。この定理は縮小写像の原理などとして知られる^[3][4]。さらに、完備距離空間上の縮小写像 f の反復合成による点列 x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), … はその不動点に収束する^[2]。縮小写像の原理は、常微分方程式の解の存在と一意性の証明にも使われる^[5]。

縮小写像の m 個の組 f₁, f₂, …, f_m が与えられたときに、ℝ^d 上の全てのコンパクト集合の族 C をハウスドルフ距離によって完備距離空間にすると、任意の X ⊂ C について

${\displaystyle F(X)=f_{1}(X)\cup f_{2}(X)\cup \cdots \cup f_{m}(X)}$

で定義される写像 F: C → C も縮小写像となる^[6]。F の不動点は K = f₁(K) ∪ f₂(K) ∪ … ∪ f_m(K) を満たすコンパクト集合として拡張され、自己相似集合と呼ばれる^[3]。したがって、どのコンパクト集合 X から出発しても、縮小写像の組 f₁, f₂, …, f_m はただ一つの自己相似集合を持ち、さらに F の反復合成による列 X, F (X), F (F (X)), F (F (F (X))), … はその自己相似集合に収束する^[7][8]。

出典

1. 荒井 2020, p. 119.
2. 荒井 2020, p. 120.
3. 山口・畑・木上 1993, p. 22.
4. 新井 2023, pp. 152–154.
5. 荒井 2020, p. 125.
6. 山口・畑・木上 1993, pp. 23–25.
7. 山口・畑・木上 1993, p. 25.
8. 新井 2023, p. 319.

参考文献

• 荒井 迅、2020、『常微分方程式の解法』初版、共立出版〈共立講座 数学探検 15〉 ISBN 978-4-320-11188-2
• 山口 昌哉・畑 政義・木上 淳、1993、『フラクタルの数理』初版、岩波書店〈岩波講座 応用数学1 [対象7]〉 ISBN 4-00-010511-6
• 新井 仁之、2023、『ルベーグ積分講義 ―ルベーグ積分と面積0の不思議な図形たち―』改訂版、日本評論社 ISBN 978-4-535-78945-6