球面調和関数 （きゅうめんちょうわかんすう、英 : spherical harmonics [1] 球関数 （きゅうかんすう、英 : spherical functions [2] 関数 である：
n 次元ラプラス方程式 の解となる斉次多項式 を単位球面に制限する事で得られる関数。次元 n が 3 の場合の 1 の意味での球面調和関数で、球面座標 (r , θ φ で書いたラプラス方程式の変数分離解を記述するのに用いる事ができる関数 Y n k θ φ 低次の球面調和関数。赤色は正、緑色は負の領域を示す。 球面調和関数の球表示（左）と原子軌道表示（右）。 （gifアニメーション） 本項では 1 及び 2 双方の意味の球面調和関数について述べるが、特に断りがない限り、「球面調和関数」という言葉を 1 の意味で用いる。
R 実数 全体の集合とし、C 複素数 全体の集合とし、n 個の実数からなる組の集合を R n R n (x 1 , …, x n ∈ R n と書き表すことにする。
R n
φ R n → C が2階微分可能なとき、Δ φ
Δ
ϕ
=
∑
i
=
1
n
∂
2
∂
x
i
2
ϕ
{\displaystyle \Delta \phi =\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}{}^{2}}}\phi }
と定義し、Δ ラプラス作用素 R n p (x 1 , …, x n
Δ p = 0を満たすものを調和多項式 （英語版 ） [3] R に対し、
Δ p (R (x )) = R (Δ p (x ))を満たすので、調和多項式の定義は座標系のとり方に依存しない。
調和多項式 p が k 次の斉次多項式 であるとき、p を単位球面
S
n
−
1
=
{
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
∣
∑
i
x
i
2
=
1
}
{\displaystyle S^{n-1}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid \sum _{i}x_{i}{}^{2}=1\}}
(P1 )
に制限した制限写像
Y
=
p
|
S
n
−
1
:
S
n
−
1
→
C
{\displaystyle Y=p|_{S^{n-1}}\colon S^{n-1}\to \mathbf {C} }
を k 次の球面調和関数 という。
（n 次元空間 R n k 次の球面調和関数全体の集合を H k H k C ベクトル空間 であり、
dim
C
H
k
=
(
n
+
2
k
−
2
)
(
n
+
k
−
3
)
!
(
n
−
2
)
!
k
!
{\displaystyle \operatorname {dim} _{\mathbf {C} }{\mathcal {H}}_{k}={\frac {(n+2k-2)(n+k-3)!}{(n-2)!k!}}}
(P2 )
である。
e n R n
en = (0, ..., 0, 1) ∈ R n とする。
定義 (帯球関数 ) ― k 次の球面調和関数を、（en 方向の）k 次の帯球関数 （英語版 ） [7]
R (e n e n 回転行列 R に対し、Y (R (x 1 , …, x n Y (x 1 , …, x n 次元 n が 3 であれば、z 軸 (0, 0, 1) を保つ回転によって球面 S 2 緯線 が帯状に描かれる。帯球関数という名称は、「緯線 による帯上で値が不変になる球面調和関数」である事に由来する[7]
次の事実が成立する[7]
定理 ― k に対し、R n k 次の帯球関数は定数倍を除いて一意である。すなわち Z 1 , Z 2 R n k 次帯球関数とするとき、Z 1 = aZ 2 a ∈ C
帯球関数を具体的に書き表す為、記号を導入する。自然数 n と非負の実数 x に対しポッホハマー記号 (x )n を
(
x
)
n
:=
Γ
(
x
+
n
)
Γ
(
x
)
{\displaystyle (x)_{n}:={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}}}
により定義する。ここで Γ (x )ガンマ関数 である。さらにガウスの超幾何関数
2
F
1
(
−
k
,
b
;
c
;
z
)
=
∑
i
=
0
k
(
−
1
)
i
(
k
i
)
(
b
)
i
(
c
)
i
z
i
{\displaystyle {}_{2}F_{1}(-k,b;c;z)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {(b)_{i}}{(c)_{i}}}z^{i}}
により定義し[注 1] 超球多項式
P
k
(
α
)
(
z
)
:=
2
F
1
(
−
k
,
2
α
+
k
;
α
+
1
2
;
1
−
z
2
)
{\displaystyle P_{k}^{(\alpha )}(z):=\,_{2}F_{1}\!\left(-k,2\alpha +k;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right)}
により定義する[注 2]
Z
k
n
(
x
1
,
…
,
x
n
)
:=
P
k
(
(
n
−
2
)
/
2
)
(
x
n
)
{\displaystyle Z_{k}^{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}):=P_{k}^{((n-2)/2)}(x_{n})}
k 次の帯球関数である。すでに述べたように、k 次の帯球関数は定数倍を除いて一意なので、全ての k 次帯球関数は上述したものの定数倍として表記可能である。
3次元空間 R 3 R 3 球面座標 (r , θ φ で表すと、下記の Y m k θ φ
Y
k
m
(
θ
,
ϕ
)
=
(
−
1
)
(
m
+
|
m
|
)
/
2
2
k
+
1
4
π
(
k
−
|
m
|
)
!
(
k
+
|
m
|
)
!
P
k
|
m
|
(
cos
θ
)
e
i
m
ϕ
.
{\displaystyle Y_{k}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2k+1}{4\pi }}{\frac {(k-|m|)!}{(k+|m|)!}}\,}}\,P_{k}^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\phi }.}
(B1 )
ここで
であり、P m k t )ルジャンドルの陪多項式
P
k
m
(
t
)
=
1
2
k
(
1
−
t
2
)
m
2
∑
j
=
0
⌊
(
k
−
m
)
/
2
⌋
(
−
1
)
j
(
2
k
−
2
j
)
!
j
!
(
k
−
j
)
!
(
k
−
2
j
−
m
)
!
t
k
−
2
j
−
m
{\displaystyle P_{k}{}^{m}(t)={\frac {1}{2^{k}}}(1-t^{2})^{\tfrac {m}{2}}\sum _{j=0}^{\lfloor (k-m)/2\rfloor }{(-1)^{j}(2k-2j)! \over j!(k-j)!(k-2j-m)!}t^{k-2j-m}}
(B3 )
である。すなわち P m k t )ルジャンドルの陪微分方程式
(
1
−
t
2
)
y
″
(
t
)
−
2
t
y
′
(
t
)
+
[
k
(
k
+
1
)
−
m
2
1
−
t
2
]
y
(
t
)
=
0
{\displaystyle (1-t^{2})y''(t)-2t\,y'(t)+\left[k(k+1)-{\frac {m^{2}}{1-t^{2}}}\right]y(t)=0}
の解である。なお、ルジャンドルの陪微分方程式は条件 (B2 Y m k θ φ
Y m k θ φ p を p (r , θ φ r k Y m k θ φ p が斉次多項式になっている事を確認できる。
なお、本項では、「球面調和関数」という言葉をラプラス方程式の解となる斉次多項式（の球面への制限）一般を指す用語として用いるが、物理の教科書などでは上述した Y m k θ φ
Yk m (θ φ Y m k θ φ k 次の斉次多項式 p に対し、変数分離形
p (r , θ φ R (r ) Θ (θ Φ (φ でラプラス方程式 Δ p = 0
p
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
r
k
(
A
Y
k
m
(
θ
,
ϕ
)
+
B
Y
k
−
m
(
θ
,
ϕ
)
)
,
{\displaystyle p(r,\theta ,\phi )=r^{k}(AY_{k}{}^{m}(\theta ,\phi )+BY_{k}{}^{-m}(\theta ,\phi )),}
m は整数で k ≤ | m | と書ける事を証明できる。
証明
Y m k θ φ R 3 球面座標 (r , θ φ でラプラス作用素を表記すると、
Δ
=
1
r
2
(
Δ
r
+
Δ
s
)
{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{r^{2}}}(\Delta _{r}+\Delta _{s})}
となる。ここで、
Δ
r
=
∂
∂
r
(
r
2
∂
∂
r
)
,
{\displaystyle \Delta _{r}={\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right),}
Δ
s
=
1
sin
θ
∂
∂
θ
sin
θ
∂
∂
θ
+
1
sin
2
θ
∂
2
∂
φ
2
{\displaystyle \Delta _{s}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}}
である。定義より次数 k の球面調和関数は、k 次の斉次多項式 p を単位球面上に制限したものとして表現可能である。p が k 次の斉次多項式である事から、p の極座標表示は
p (r , θ φ r k Y (θ φ
(A1 )
の形に書ける。ラプラス方程式 Δ p = 0
Y (θ φ Θ (θ Φ (φ を求める。R (r ) = r k
1
R
Δ
r
R
=
1
R
d
d
r
(
r
2
d
R
d
r
)
=
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{R}}\Delta _{r}R={\frac {1}{R}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\left(r^{2}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} r}}\right)=k(k+1)}
なので、変数分離解をラプラス方程式の極座標表示に代入することで、
1
Y
Δ
s
Y
=
−
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle {\frac {1}{Y}}\Delta _{s}Y=-k(k+1)}
が成立する。上式に対してさらに変数分離を適用する事で、複素数 m を適切に選べば
1
Φ
d
2
Φ
d
φ
2
=
−
m
2
{\displaystyle {\frac {1}{\Phi }}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\Phi }{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}=-m^{2}}
(A2 )
k
(
k
+
1
)
sin
2
θ
+
sin
θ
Θ
d
d
θ
(
sin
θ
d
Θ
d
θ
)
=
m
2
{\displaystyle k(k+1)\sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\mathrm {d} \Theta }{\mathrm {d} \theta }}\right)=m^{2}}
(A3 )
が成立する事がわかる。以下、m が定数である場合の解を求める。
(A2
Φ
(
ϕ
)
=
A
e
i
m
ϕ
+
B
e
−
i
m
ϕ
{\displaystyle \Phi (\phi )=A\mathrm {e} ^{im\phi }+B\mathrm {e} ^{-im\phi }}
(A4 )
を得られる。ここで i は虚数単位 である。それに対しスツルム＝リウヴィル型の微分方程式 (A3 t = cos θ y (t ) = Θ (arccos t )
(
1
−
t
2
)
y
″
(
t
)
−
2
t
y
′
(
t
)
+
(
k
(
k
+
1
)
−
m
2
1
−
t
2
)
y
(
t
)
=
0
{\displaystyle (1-t^{2})y''(t)-2t\,y'(t)+\left(k(k+1)-{\frac {m^{2}}{1-t^{2}}}\right)y(t)=0}
を満たす。よってルジャンドルの陪多項式 P m k t )B3 ) のように定義すれば、結論として
Θ
(
θ
)
=
P
k
|
m
|
(
cos
θ
)
{\displaystyle \Theta (\theta )=P_{k}^{|m|}(\cos {\theta })}
(A5 )
がわかる。ここで k は (B2 ) の条件を満たす整数である。そこで Y m k θ φ
Y
k
m
(
θ
,
ϕ
)
=
(
−
1
)
(
m
+
|
m
|
)
/
2
2
k
+
1
4
π
(
k
−
|
m
|
)
!
(
k
+
|
m
|
)
!
P
k
|
m
|
(
cos
θ
)
e
i
m
ϕ
{\displaystyle Y_{k}^{m}(\theta ,\phi )=(-1)^{(m+|m|)/2}{\sqrt {{\frac {2k+1}{4\pi }}{\frac {(k-|m|)!}{(k+|m|)!}}\,}}\,P_{k}^{|m|}(\cos \theta )\,e^{im\phi }}
と定義すれば、(A1 A4 A5 B2 k 次の調和多項式 p は必ず
p
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
r
k
(
A
Y
k
m
(
θ
,
ϕ
)
+
B
Y
k
−
m
(
θ
,
ϕ
)
)
,
{\displaystyle p(r,\theta ,\phi )=r^{k}(AY_{k}{}^{m}(\theta ,\phi )+BY_{k}{}^{-m}(\theta ,\phi )),}
m は整数で k ≤ |m |,と書ける事になる。なお、p を直交座標に変換すると p が斉次多項式になっている事を確認できる。
また、3次元空間の場合、k 次球面調和関数全体のなすベクトル空間 H k P2
dim
C
H
k
=
2
k
+
1
{\displaystyle \operatorname {dim} _{\mathbf {C} }{\mathcal {H}}_{k}=2k+1}
なので、(B2
定理1 ― Y − k k θ φ Y k k θ φ H k k の斉次多項式（の球面への制限）Y が球面調和関数となる必要十分条件は、Y がこれらの関数の線形和として書ける事である。
本節では、球面調和関数の空間に内積を定義し、球面調和関数がこの内積に関して完全直交性を満たすことを示す。
n 次元空間 R n S n − 1P1 dS を S n − 1面素 とし、S n − 1f , g
⟨
f
∣
g
⟩
S
n
−
1
:=
∫
S
n
−
1
f
(
x
)
g
(
x
)
d
S
{\displaystyle \langle f\mid g\rangle _{S^{n-1}}:=\int _{S^{n-1}}f(\mathbf {x} )g(\mathbf {x} )\,\mathrm {d} S}
(C1 )
により定義する。なお、面素 dS は球面座標 (r , θ 1 , …, θ n − 1 を
x
j
=
{
r
sin
θ
1
⋯
sin
θ
j
−
1
cos
θ
j
if
1
≤
j
≤
n
−
1
r
sin
θ
1
⋯
sin
θ
n
if
j
=
n
{\displaystyle x_{j}={\begin{cases}r\sin \theta _{1}\cdots \sin \theta _{j-1}\cos \theta _{j}&{\text{if }}1\leq j\leq n-1\\r\sin \theta _{1}\cdots \sin \theta _{n}&{\text{if }}j=n\end{cases}}}
を用いて
d
S
=
∏
j
=
1
n
−
1
sin
j
−
1
θ
j
d
θ
1
⋯
d
θ
n
−
1
{\displaystyle \mathrm {d} S=\prod _{j=1}^{n-1}\sin ^{j-1}\theta _{j}\,\mathrm {d} \theta _{1}\cdots \mathrm {d} \theta _{n-1}}
と書ける。特に 3 次元空間の場合は球面座標 (r , θ φ に対し、
d
S
=
sin
θ
d
θ
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} S=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
である。
k 次球面調和関数全体のなすベクトル空間を H k
定理 ― k ≠ j H k H j C1 f ∈ H k g ∈ H j ⟨ f |g ⟩ S n − 1[11]
特に 3 次元空間では次が成立する。
定理 ―
⟨
Y
k
m
∣
Y
j
s
⟩
S
n
−
1
=
{
1
if
k
=
j
,
m
=
s
,
0
otherwise.
{\displaystyle \langle Y_{k}^{m}\mid Y_{j}^{s}\rangle _{S^{n-1}}={\begin{cases}1&{\text{if }}k=j,\,m=s,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
H k S n − 1自乗可積分函数 全体の空間
L 2 (S n − 1f : S n − 1C | f は可測 かつ ⟨ f | f ⟩ S n − 1 } は H k [11]
定理 ―
L
2
(
S
n
−
1
)
=
⨁
k
=
0
∞
H
k
{\displaystyle L^{2}(S^{n-1})=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\mathcal {H}}_{k}}
ヒルベルト直和 ）。
これを言い換えると、以下の系が従う：
系 ― f ∈ L 2 (S n − 1可積分 な関数の族 {Yk }∞ k =0 で Yk が k 次球面調和関数となるものが存在し、以下が成立する：
f
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
Y
k
(
x
)
.
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\sum _{k=0}^{\infty }Y_{k}(\mathbf {x} ).}
しかもこのような族は一意である。
特に 3 次元の場合は、上述の事実と定理1
定理 ― f ∈ L 2 (S n − 1f を極座標で表したとき、
f
(
θ
,
ϕ
)
=
∑
k
=
0
∞
∑
m
=
−
k
k
A
k
m
Y
k
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle f(\theta ,\phi )=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{m=-k}^{k}A_{km}Y_{k}^{m}(\theta ,\phi )}
を満たす複素数の族 {A k , m k = 0, 1, …; m = − k , …, k で
∑
k
=
0
∞
∑
m
=
−
k
k
A
k
m
2
<
∞
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\sum _{m=-k}^{k}A_{km}{}^{2}<\infty }
となるものが一意に存在する。
3 次元空間 R 3 (r , θ φ に対し、
d
x
d
y
d
z
=
r
2
sin
θ
d
r
d
θ
d
φ
{\displaystyle \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }
が成立する。そこで、R χ ξ χ ξ
⟨
χ
∣
ξ
⟩
R
:=
∫
−
∞
∞
χ
(
r
)
ξ
(
r
)
r
2
d
r
{\displaystyle \langle \chi \mid \xi \rangle _{R}:=\int _{-\infty }^{\infty }\chi (r)\xi (r)r^{2}\mathrm {d} r}
(D1 )
により定義し、さらに R 3 f 1 , f 2
⟨
f
1
∣
f
2
⟩
:=
∫
R
3
f
1
(
x
)
f
2
(
x
)
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle \langle f_{1}\mid f_{2}\rangle :=\int _{\mathbf {R} ^{3}}f_{1}(\mathbf {x} )f_{2}(\mathbf {x} )\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}
(D2 )
とする。f 1 , f 2
f 1 (x ) = χ 1 (r ) Y 1 (θ φ f 2 (x ) = χ 2 (r ) Y 2 (θ φ と変数分離形で書けていた場合には、(C1 D1 D2
⟨
f
1
|
f
2
⟩
=
⟨
χ
1
|
χ
2
⟩
R
⟨
Y
1
|
Y
2
⟩
S
{\displaystyle \langle f_{1}|f_{2}\rangle =\langle \chi _{1}|\chi _{2}\rangle _{R}\langle Y_{1}|Y_{2}\rangle _{S}}
(C1 D1 D2 L 2 (S 2 , sin θ θ φ L 2 (R , r 2 dr ), L 2 (R 3 , dx dy dz )[注 3]
定理 ―
L
2
(
R
3
,
d
x
d
y
d
z
)
=
L
2
(
S
2
,
sin
θ
d
θ
d
φ
)
⊗
L
2
(
R
,
r
2
d
r
)
{\displaystyle L^{2}(\mathbf {R} ^{3},\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z)=L^{2}(S^{2},\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi )\otimes L^{2}(\mathbf {R} ,r^{2}\,\mathrm {d} r)}
上述した定理と定理1
系 ― R 3 f (x , y , z )⟨ χ k, m | χ k, m ⟩ R < ∞ R {χ k , m r )} で
f
(
r
,
θ
,
φ
)
=
∑
m
=
0
∞
∑
k
=
−
m
m
χ
k
,
m
(
r
)
Y
k
,
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{m=0}^{\infty }\sum _{k=-m}^{m}\chi _{k,m}(r)Y_{k,m}(\theta ,\phi )}
となるものが一意に存在する。
いくつかの球面調和関数の具体的な表式を示す。
Y
0
0
=
1
4
π
Y
1
0
=
3
4
π
cos
θ
Y
1
±
1
=
∓
3
8
π
sin
θ
e
±
i
φ
Y
2
0
=
5
16
π
(
3
cos
2
θ
−
1
)
Y
2
±
1
=
∓
15
8
π
sin
θ
cos
θ
e
±
i
φ
Y
2
±
2
=
15
32
π
sin
2
θ
e
±
2
i
φ
Y
3
0
=
7
16
π
(
5
cos
3
θ
−
3
cos
θ
)
Y
3
±
1
=
∓
21
64
π
sin
θ
(
5
cos
2
θ
−
1
)
e
±
i
φ
Y
3
±
2
=
105
32
π
sin
2
θ
cos
θ
e
±
2
i
φ
Y
3
±
3
=
∓
35
64
π
sin
3
θ
e
±
3
i
φ
{\displaystyle {\begin{aligned}Y_{0}^{0}&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\\Y_{1}^{0}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{\pm 1}&=\mp {\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{\pm i\varphi }\\Y_{2}^{0}&={\sqrt {\frac {5}{16\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{\pm 1}&=\mp {\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \cos \theta \,e^{\pm i\varphi }\\Y_{2}^{\pm 2}&={\sqrt {\frac {15}{32\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{\pm 2i\varphi }\\Y_{3}^{0}&={\sqrt {\frac {7}{16\pi }}}\,(5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{3}^{\pm 1}&=\mp {\sqrt {\frac {21}{64\pi }}}\,\sin \theta \,(5\cos ^{2}\theta -1)\,e^{\pm i\varphi }\\Y_{3}^{\pm 2}&={\sqrt {\frac {105}{32\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \cos \theta \,e^{\pm 2i\varphi }\\Y_{3}^{\pm 3}&=\mp {\sqrt {\frac {35}{64\pi }}}\,\sin ^{3}\theta \,e^{\pm 3i\varphi }\end{aligned}}}
球面調和関数には「加法定理」と呼ばれる性質がある。これは三角関数における加法定理
cos
(
θ
′
−
θ
)
=
cos
θ
′
cos
θ
+
sin
θ
sin
θ
′
{\displaystyle \cos(\theta '-\theta )=\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '}
を一般化したものと捉えることができる。上式の右辺は球面調和関数に、左辺はルジャンドル多項式 に置き換えられる。
二つの単位ベクトル x y 球面座標 をそれぞれ (θ φ および (θ ′ , φ ′ ) とする。このとき、加法定理は以下のように表すことができる[12]
P
ℓ
(
x
⋅
y
)
=
4
π
2
ℓ
+
1
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
Y
ℓ
m
(
θ
′
,
φ
′
)
Y
ℓ
m
∗
(
θ
,
φ
)
.
{\displaystyle P_{\ell }({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {y}})={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\theta ',\varphi ')\,Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\varphi ).}
(1 )
ここで Pℓ は ℓ [注 4] 単位球面 上のポアソン核 の性質を用いて、あるいはベクトル y z 軸に沿うように幾何的に回転させたのちに右辺を直接計算することにより解析的に証明することができる。
特に、x y
∑
m
=
−
ℓ
ℓ
Y
ℓ
m
∗
(
θ
,
φ
)
Y
ℓ
m
(
θ
,
φ
)
=
2
ℓ
+
1
4
π
{\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}}
に帰着する。この式は一次元の三角関数における恒等式 cos2 θ 2 θ を二次元に拡張したものとみなすことができる。
式 (1 Pℓ (x ⋅ y ℓ 帯球調和関数 （英語版 ） Yj を n 次元超球面 上の ℓ H ℓ 正規直交基底 とする。このとき、単位ベクトル x ℓ Z (ℓ x
Z
x
(
ℓ
)
(
y
)
=
∑
j
=
1
dim
(
H
ℓ
)
Y
j
(
x
)
¯
Y
j
(
y
)
.
{\displaystyle Z_{\boldsymbol {x}}^{(\ell )}({\boldsymbol {y}})=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\boldsymbol {x}})}}\,Y_{j}({\boldsymbol {y}}).}
(2 )
さらに、帯球調和関数 Z (ℓ x y ゲーゲンバウアー多項式 の定数倍として表すことができる：
Z
x
(
ℓ
)
(
y
)
=
C
ℓ
(
(
n
−
1
)
/
2
)
(
x
⋅
y
)
.
{\displaystyle Z_{\boldsymbol {x}}^{(\ell )}({\boldsymbol {y}})=C_{\ell }^{((n-1)/2)}({\boldsymbol {x}}\cdot {\boldsymbol {y}}).}
(3 )
x y 2 3 1 x y
dim
H
ℓ
ω
n
−
1
=
∑
j
=
1
dim
(
H
ℓ
)
|
Y
j
(
x
)
|
2
.
{\displaystyle {\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\boldsymbol {x}})|^{2}.}
ここで ω n − 1(n − 1) 次元超球の体積 である。
クレブシュ–ゴルダン係数 とは、二つの球面調和関数の積を球面調和関数の線形結合で展開する際の展開係数である。ウィグナーの3-j記号 やラカー係数 、スレーター積分 など様々な計算方法があるが、本質は同じである。抽象的には、クレブシュ–ゴルダン係数は二つの回転群 の既約表現のテンソル積 を既約表現の和で表わすときの係数と見ることができる。よって、適切に正規化すれば多重度と一致する。
原点に対する点対称操作で符号が替わらない（偶関数）かあるいは符号が逆になる（奇関数）かに依って、球面調和関数に対する「パリティ」が定義される。原点を不動点とする点対称操作は P Ψ (r → Ψ (− r → {θ φ を {π − θ π φ に置き換える操作になる。ルジャンドル陪多項式（Associated Legendre polynomials）はパリティとして (− 1)ℓ + m を、指数関数は (− 1)m を与えるので、両者を併せると球面調和関数のパリティは（mには依らずに） (− 1)ℓ となる。
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
→
Y
ℓ
m
(
π
−
θ
,
π
+
ϕ
)
=
(
−
1
)
ℓ
Y
ℓ
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )\;\rightarrow \;Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\phi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}
このことは、高次元に一般化した場合にも成り立つ。ℓ (− 1)ℓ となる。
（これは調和多項式が次数の偶・奇に併せて空間反転で偶関数・奇関数であること、球面調和函数が調和多項式の球面上への制限であることからも容易に理解できる。）
量子力学 で、球対称 なポテンシャル V (r )シュレーディンガー方程式 （代表的なものは水素原子のシュレーディンガー方程式 ）
{
−
ℏ
2
2
m
∇
2
+
V
(
r
)
}
ψ
(
r
)
=
E
ψ
(
r
)
{\displaystyle \left\{-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)\right\}\psi ({\boldsymbol {r}})=E\psi ({\boldsymbol {r}})}
を解いたときに、球面調和関数が現れる。量子力学では Y m ℓ ℓ , m量子数 と呼び、それぞれ ℓ 方位量子数 、m を磁気量子数 という。
球面調和関数は軌道角運動量 ℓ ℓ 2 ℓ z ħ 2 ℓ ℓ mħ
ℓ
2
Y
ℓ
m
=
ℏ
2
ℓ
(
ℓ
+
1
)
Y
ℓ
m
{\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}^{2}Y_{\ell }^{m}=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}}
ℓ
z
Y
ℓ
m
=
m
ℏ
Y
ℓ
m
{\displaystyle \ell _{z}Y_{\ell }^{m}=m\hbar Y_{\ell }^{m}}
となる。また、上昇下降演算子 ℓ + , ℓ −
ℓ
+
Y
ℓ
m
=
ℏ
(
ℓ
−
m
)
(
ℓ
+
m
+
1
)
Y
ℓ
m
+
1
{\displaystyle \ell _{+}Y_{\ell }^{m}=\hbar {\sqrt {(\ell -m)(\ell +m+1)}}\,Y_{\ell }^{m+1}}
ℓ
−
Y
ℓ
m
=
ℏ
(
ℓ
+
m
)
(
ℓ
−
m
+
1
)
Y
ℓ
m
−
1
{\displaystyle \ell _{-}Y_{\ell }^{m}=\hbar {\sqrt {(\ell +m)(\ell -m+1)}}\,Y_{\ell }^{m-1}}
ℓ
+
Y
ℓ
ℓ
=
0
,
ℓ
−
Y
ℓ
−
ℓ
=
0
{\displaystyle \ell _{+}Y_{\ell }^{\ell }=0,\quad \ell _{-}Y_{\ell }^{-\ell }=0}
となる。
超幾何関数は一般には無限級数であるが、第一引数が負の整数である場合は、ここで示した有限級数の形で書き表す事ができる。
ゲーゲンバウアー多項式 の項目には、ゲーゲンバウアー多項式と超球多項式は同一であると書いてあるが、本項では 野村 (2006 , p. 20) に従って超球多項式を定義したため、ゲーゲンバウアー多項式とは定数倍異なる。なお、L 2 (S 2 , sin θ θ φ L 2 (S n − 1n = 3
これは ℓ
Edmonds, A. R.. Angular Momentum In Quantum Mechanics . Princeton University Press. p. 81
Jean Gallier (Department of Computer and Information Science University of Pennsylvania) (2013年). “Notes on Spherical Harmonics and Linear Representations of Lie Groups ” (PDF). ペンシルバニア大学 . 2017年8月29日 閲覧。 野村隆昭 (2006年). “極座標・回転群・SL(2, R) ” (PDF). 九州大学 . 2017年1月4日 閲覧。 Brian C.Hall (July 1, 2013). Quantum Theory for Mathematicians . Graduate Texts in Mathematics 267. Springer 高知大学 自然科学系 田部井隆雄 、神奈川県温泉地学研究所 里村幹夫、京都大学大学院理学研究科 福田洋一 (2004年). “4-4. ルジャンドルの多項式, 陪多項式 ”. 日本測地学会. 2017年1月4日 閲覧。Watson, G. N. ; Whittaker, E. T. (1927), A Course of Modern Analysis , Cambridge University Press , p. 392Unsöld, Albrecht (1927). “Beiträge zur Quantenmechanik der Atome”. Annalen der Physik 387 (3): 355–393. Bibcode : 1927AnP...387..355U . doi :10.1002/andp.19273870304 . ISSN 0003-3804 . LCCN 50-13519 . OCLC 5854993 .Stein, Elias ; Weiss, Guido (November 1, 1971). Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces . Princeton mathematical series. Princeton, N.J.: Princeton University Press . ASIN 069108078X . ISBN 978-0-691-08078-9 . NCID BA82681515 . OCLC 919508312
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![{\displaystyle (1-t^{2})y''(t)-2t\,y'(t)+\left[k(k+1)-{\frac {m^{2}}{1-t^{2}}}\right]y(t)=0}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e95eb38f855a0934ae78930f2c29765f5ab21260)
