弦 (数学)

初等幾何学における円の弦（げん、英: chord^{[注釈 1]}）は、その円周上に両端点を持つ線分を言う。弦を無限に延長して得られる直線を、割線と呼ぶ。より一般に、任意の曲線（例えば楕円）において、その曲線上の二点を結ぶ線分を、その曲線上の弦と総称する。円の中心を通る弦はその円の直径である。任意の直径は弦であるが、任意の弦が直径となるわけではない。

直径 (diameter); 半径 (radius); 弦 (chord); 割線 (secant); 接線 (tangent)

赤い線分 BX はこの円の弦である。（線分 AB は円の直径）

円の弦

→「en:Circle § Chord」も参照

円の弦に関する性質には、例えば以下のようなものがある:

1. 二つの弦が、円の中心から等距離にあるための必要十分条件は、それら弦の長さが等しいことである。
2. 長さの等しい弦を、円の中心から見込む角（中心角）は等しい。
3. 円の中心を通る弦は直径と呼ばれ、その円の最長の弦である。
4. 弦 AB および CD を延長して得られる割線が点 P で交わるならば、それらの長さは AP·PB = CP·PD を満足する（方冪の定理）。

楕円の弦

楕円における互いに平行な弦の族が与えられたとき、それら弦の中点はすべて同一直線上にある^[1]。

弦をもとにした三角法

三角法の初期の段階では弦が手広く用いられていた。知られた最古の三角函数表はヒッパルコスの編纂した弦の数表（英語版）で、それには7.5°刻みで弦函数の値が書き並べられていた。AD 2世紀に、アレクサンドリアのプトレマイオスは、天文学に関する著書『アルマゲスト』において、より詳細な弦の数表を編纂している（0.5°から180°まで0.5°刻みで値が与えられ、これは円の直径を120として小数点以下60進ふた桁まで正確であった）^[2]。

中心角 θ に対する弦; 弦の半分が正弦

弦函数 crd は幾何学的には（図のように）中心角 θ の見込む弦の長さが r⋅crd(θ)（r は半径）となるように定義される。すなわち、弦函数の値 crd(θ) は、中心角 θ によって隔てられた単位円上の二点間を結ぶ弦の長さである。ここでは角度 θ は正の向きに測るものとし、弧度法で区間 0 < θ ≤ π の範囲に入るものと考えている。この元函数 crd をより現代的な正弦函数 sin と関連付けることができる。それには、一点 (1, 0) ともう一つの点 (cos(θ), sin(θ)) を結ぶ弦の長さを三平方の定理を用いて計算すればよい。すると $${\displaystyle \operatorname {crd} \theta ={\sqrt {(1-\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta }}={\sqrt {2-2\cos \theta }}=2\sin \!{\Bigl (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}}$$ を得る^[2]。最後の等号は半角公式による。

現代的な三角法が正弦函数に基づいて構築されているのと同様に、古来の三角法はこの弦函数をもとに構築されていた。ヒッパルコスは（いまではもうすべて失われたけれども）12巻にも及ぶ弦についての文献を書き上げたというから、三角法についてはかなりのことが知られていたと考えられる。現代的な三角函数に関するよく知られた恒等式の弦函数版がある:

恒等式	正弦版	弦版
三平方の定理	${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$	${\displaystyle \operatorname {crd} ^{2}\theta +\operatorname {crd} ^{2}(\pi -\theta )=4}$
半角公式	${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {crd} \ {\frac {\theta }{2}}=\pm {\sqrt {2-\operatorname {crd} (\pi -\theta )}}}$
辺心距離 a	${\displaystyle c=2{\sqrt {r^{2}-a^{2}}}}$	${\displaystyle c={\sqrt {D^{2}-4a^{2}}}}$
中心角 θ	${\displaystyle c=2r\sin \!{\Big (}{\frac {\theta }{2}}{\Bigr )}}$	${\displaystyle c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \theta }$
ただし、半径 r（直径 D）の円の中心角 θ が見込む弦の長さを c とする。

弦函数 crd の逆函数 acrd もまた存在して、逆正弦函数とは $${\displaystyle \operatorname {acrd} (y)=2\arcsin \!{\Big (}{\frac {y}{2}}{\Bigr )}}$$ の関係にある^[3]。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

1. 弓弦を意味するラテン語: chorda に由来

出典

1. Chakerian, G. D. (1979). “7”. In Honsberger, R.. A Distorted View of Geometry. Washington, DC, USA: Mathematical Association of America. p. 147
2. Maor, Eli (1998), Trigonometric Delights, Princeton University Press, pp. 25-27, ISBN 978-0-691-15820-4
3. Simpson, David G. (2001年11月8日). “AUXTRIG”. Greenbelt, Maryland, USA: NASA Goddard Space Flight Center. 2015年10月26日閲覧。

関連文献

• Hawking, Stephen William, ed (2002). On the Shoulders of Giants: The Great Works of Physics and Astronomy. Philadelphia, USA: Running Press. ISBN 0-7624-1698-X. LCCN 2002-100441. https://books.google.co.jp/books?id=pb6HR4DAEeMC
• “On the Hidden Beauty of Trigonometric Functions”. Applied Physics Research (Prague, CZ: Canadian Center of Science and Education) 9 (2): 57-64. (2017-03-10). doi:10.5539/apr.v9n2p57. ISSN 1916-9639. ISSN 1916-9647.

関連項目

割円八線

• 弓形: 端点が同じ弦と円弧で囲まれた部分(=扇形から半径と弦が作る三角形を取り除いて残る部分)
• Scale of chords（英語版）: 弦に打った目盛りで角度を測る尺
• プトレマイオスの弦の数表（英語版）
• ホルディッチの定理（英語版）: 凸閉曲線内を回転する弦に関する
• 円グラフ (グラフ理論)（英語版）: 一つの円内の弦の集合に対する交叉グラフ（英語版）
• 外正割（英語版）: 外正割（剰正割; exsecant）と外余割（剰余割; excosecant）
• 正矢（英語版）: 正矢（余正弦、残正弦; versine) と半正矢 (haversine) およびそれらの逆函数. 関連して、余矢 (coversine), 残正矢 (vercosine), 残余矢 (covercosine) / 半余矢 (hacoversine), 半残正矢 (havercosine), 半残余矢 (hacovercosine) など.
• ジンドラー曲線（英語版）: 任意の弦が、同じ長さを持ち、かつ周長を二等分する単純閉曲線

外部リンク

• History of Trigonometry Outline
• Trigonometric functions, focusing on history
• Chord (of a circle) With interactive animation
• Weisstein, Eric W. "Chord". mathworld.wolfram.com (英語).
• chord - PlanetMath.（英語）
• Definition:Chord at ProofWiki
• BSE-3 (2001), “Chord”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Chord