導手

代数的整数論で、局所体や大域体の有限次アーベル拡大の導手(conductor)は、拡大の分岐を定量的に測るものである。導手の定義はアルティン写像に関連がある。

局所導手

L/K を非アルキメデス的局所体の有限アーベル拡大とすると、L/K の導手 ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$ は、高次単数群（英語版）(higher unit group)

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}_{K}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}_{K}^{n})\right\}}$

が N_L/K(L^×) に含まれるような最小の非負な整数 n である。ここに、N_L/K は体のノルム(field norm)写像で、${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}}$ は K の極大イデアル(maximal ideal)とする^[1]。同じことであるが、n は局所アルティン写像が ${\displaystyle U_{K}^{(n)}}$ 上で自明であるような最小の整数である。導手は、上記の n に対する ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{n}}$ として定義されることもある。^[2]

拡大の導手は分岐を測る。定量的には、拡大が不分岐であることと、導手が 0 であることとは同値であり^[3]、（拡大が）おとなしい分岐（英語版）(tamely ramified)であることと、導手が 1 であることとは同値である^[4]。さらに詳しくは、導手は高次分岐群（英語版）(higher ramification group)の非自明性を測ることができる。下付添え字の（英語版）(lower numbering)の高次分岐群 G_s が非自明であるような最も大きな整数を s とすると、${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\eta _{L/K}(s)+1}$ が成り立つ。ここに η_L/K は「下付添え字」を高次分岐群の上付き添え字（英語版）(upper numbering)へ変換する函数とする。^[5]

また、L/K の導手はガロア群 Gal(L/K) の指標のアルティン導手（英語版）(Artin conductor)とも関係している。特に、^[6]

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}(L/K)}={\underset {\chi }{\mathrm {lcm} }}\,{\mathfrak {m}}_{K}^{{\mathfrak {f}}_{\chi }}}$

であり、ここに χ は Gal(L/K) の乗法的な複素指標（英語版）(multiplicative complex characters)の全てを渡り、${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\chi }}$ は χ のアルティン導手であり、lcm は最小公倍数である。

さらに一般的な体

導手は、局所体の必ずしもアーベル的ではない有限次ガロア拡大に対しても L/K と同じ方法で定義することができる^[7]。しかしながら、導手は「ノルム限定定理」のために、L の中での K の最大アーベル拡大である L^ab/K のみに依存する。ノルム極限定理は、この状況下では、

${\displaystyle N_{L/K}(L^{\times })=N_{L^{\text{ab}}/K}\left((L^{\text{ab}})^{\times }\right)}$

を意味している^[8][9]。

加えて、局所体の場合よりも少し一般的な場合、つまり、準有限（英語版）(quasi-finite)な剰余体を持つ完備付値体の場合は、導手を定義することができる^[10]。

アルキメデス的な体

大域的導手のためには、自明な拡大 R/R の導手が 0 であると定義し、拡大 C/R の導手が 1 であると定義する。^[11]

大域的導手

代数体

数体のアーベル拡大 L/K の導手は、アルティン写像を使い局所の場合と同様に定義できる。特に θ : I^m → Gal(L/K) を大域的アルティン写像(global Artin map)とする。ここでは、モジュラス（英語版）(modulus) m は L/K の定義モジュラス（英語版）(defining modulus)である。θ が法 ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ の射類群（英語版）(ray class group) を経由するときに、アルティン相互法則(Artin reciprocity)が m で成り立つという。L/K の導手を ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$ と書き、相互法則の成立するモジュラスのすべての共通部分とする。実際、相互法則は、${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$ に対し成り立つので、これは最も小さなそのようなモジュラスである^[12][13][14]

例

• 基礎体を有理数体とすると、クロネッカー・ウェーバーの定理は、代数体 K が Q のアーベル拡大であることと、ある円分体 ${\displaystyle \mathbf {Q} (\zeta _{n})}$ の部分体であることが同値であることを言っている^[15]。従って、K の導手はそのようなものの中で最も小さな n である。
• d を平方因子のない整数として， L/K を ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbf {Q} }$ とすると、^[16]

${\displaystyle {\mathfrak {f}}\left(\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbf {Q} \right)={\begin{cases}\left|\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}\right|&{\text{for }}d>0\\\infty \left|\Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}\right|&{\text{for }}d<0\end{cases}}}$

が成り立つ．ここで ${\displaystyle \Delta _{\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}}$ は ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}})/\mathbf {Q} }$ の判別式（英語版）(discriminant)である。

局所導手や分岐との関係

大域導手は局所導手の積である。^[17]

${\displaystyle \displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)=\prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{{\mathfrak {f}}(L_{\mathfrak {p}}/K_{\mathfrak {p}})}.}$

結局、有限素点が L/K で分岐していることと、それが ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(L/K)}$ を割ることは同値である。^[18] 無限素点 v は導手の中にあらわれることと、v が実素点で、L で複素素点となることとが同値である。

脚注

1. Serre 1967, §4.2
2. As in Neukirch 1999, definition V.1.6
3. Neukirch 1999, proposition V.1.7
4. Milne 2008, I.1.9
5. Serre 1967, §4.2, proposition 1
6. Artin & Tate 2009, corollary to theorem XI.14, p. 100
7. Serre 1967, §4.2にあるように、
8. Serre 1967, §2.5, proposition 4
9. Milne 2008, theorem III.3.5
10. As in Artin & Tate 2009, §XI.4. This is the situation in which the formalism of local class field theory works.
11. Cohen 2000, definition 3.4.1
12. Milne 2008, remark V.3.8
13. Janusz 1973, pp. 158, 168–169
14. 無限素点を導手の定義から外している著者もいる。Neukirch 1999, §VI.6
15. Manin, Yu. I.; Panchishkin, A. A. (2007). Introduction to Modern Number Theory. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. 49 (Second ed.). pp. 155, 168. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396. Zbl 1079.11002
16. Milne 2008, example V.3.11
17. 有限部分はNeukirch 1999, proposition VI.6.5、無限部分はCohen 2000, definition 3.4.1を参照
18. Neukirch 1999, corollary VI.6.6

参考文献

• Artin, Emil; Tate, John (2009) [1967], Class field theory, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4426-7, MR2467155
• Cohen, Henri (2000), Advanced topics in computational number theory, Graduate Texts in Mathematics, 193, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98727-9
• Janusz, Gerald (1973), Algebraic Number Fields, Pure and Applied Mathematics, 55, Academic Press, ISBN 0-12-380250-4, Zbl 0307.12001
• Milne, James (2008), Class field theory (v4.0 ed.), http://jmilne.org/math/CourseNotes/cft.html 2010年2月22日閲覧。
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic Number Theory, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, Zbl 0956.11021, MR1697859
• Serre, Jean-Pierre (1967), “Local class field theory”, in Cassels, J. W. S.; Fröhlich, Albrecht, Algebraic Number Theory, Proceedings of an instructional conference at the University of Sussex, Brighton, 1965, London: Academic Press, ISBN 0-12-163251-2, MR0220701