円に内接する四角形 （えんにないせつするしかっけい、英 : cyclic quadrilateral ）または単に内接四角形 （ないせつしかっけい、英 : inscribed quadrilateral ）とは、4頂点 が1つの円周 上にある四角形 のことである[1] 外接円 といい、その上にある4頂点は共円 であるという。一般的に、内接四角形は凸 であると仮定されるが、四角形が自己交差することを許せば凸でない内接四角形も存在する。以下では凸四角形に限って述べることとする。
円に内接する四角形の例 すべての三角形 が外接円を持つのに対して、すべての四角形が外接円を持つとは限らない。たとえば、正方形 でない菱形 は内接四角形ではないが、正方形・長方形 ・等脚台形 ・反平行四辺形 （英語版 ） 凧形 が内接四角形となるための必要十分条件 は、それが二つの直角 を持つことである（直角凧形 ）。双心四角形 は内接四角形であり、かつ外接四角形 でもある。傍双心四角形 （英語版 ） 傍接四角形 （英語版 ） 調和四角形 （英語版 ）
四角形ABCDは内接四角形である 凸四角形が内接四角形であるための必要十分条件 は四つある辺の垂直二等分線 が共点 となる（つまり一点で交わる）ことである。このとき共有される点は外心 と呼ばれる。
凸四角形 □ABCD が内接四角形となるための必要十分条件は、その向かい合う角が互いに補角 となることである。式で書けば、四つの角が隣り合う順に α, β, γ, δ の角度を持つとすれば
α
+
γ
=
β
+
δ
=
π
(
=
180
∘
)
{\displaystyle \alpha +\gamma =\beta +\delta =\pi \;(=180^{\circ })}
エウクレイデス の『原論』 第3巻の命題22[3] 外角 が内対角 に等しいことである。
凸四角形 □ABCD が内接四角形となる別の必要十分条件は、ひとつの辺と一方の対角線 との間の角が対辺と他方の対角線との間の角に等しいことである[4]
∠
A
C
B
=
∠
A
D
B
{\textstyle \angle ACB=\angle ADB}
トレミーの定理 の述べるところは、内接四角形のふたつの対角線の長さ e, f の積は、二組ある対辺の長さの積の和に等しいことである。式では
e
f
=
a
c
+
b
d
{\displaystyle ef=ac+bd}
:25 。逆もまた成り立ち、この式を満たす凸四角形は内接四角形となる。二つの直線があり、一方が線分 AC を他方が線分 BD を含み、点 P で交わるとする。このとき四点 A, B, C, D が共円となるための必要十分条件は、線分の長さについて
A
P
⋅
P
C
=
B
P
⋅
P
D
{\displaystyle AP\cdot PC=BP\cdot PD}
:179 。このとき、交点 P は四点が存在する円の内部にも外部にも位置しうる。前者の場合では □ABCD が内接四角形となり、後者の場合では □ABDC が内接四角形を成す。また前者の場合において上記の等式は、一方の対角線を P で分割して得られる線分の長さの積が他方のそれと等しいことを述べるものとなる。このことは、この内接四角形の対角線が外接円の弦であることから交弦定理 （英語版 ）
もっとほかの特徴づけとして、凸四角形 □ABCD が内接四角形となるための必要十分条件は
tan
α
2
tan
γ
2
=
tan
β
2
tan
δ
2
=
1
{\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}=\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}=1}
[7]
内接四角形の面積 K は、その四辺の長さを a, b, c, d とすれば、ブラーマグプタの公式 により
K
=
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
:24 。ここに、s ≔ 1 / 2 a + b + c + d )半周長 である。これは一般の四角形に対して成立するブレートシュナイダーの公式 において、内接四角形の場合に向かい合う角が補角であることを適用した系 として得られる。さらに d = 0ヘロンの公式 に退化する。
内接四角形は、各辺がそれぞれ決まった長さの並びであるようなすべての四角形の中で最大 の面積を持つ（これもまたブレートシュナイダーの公式の系であるし、微分積分学 を用いても証明できる）[8]
ブラーマグプタの公式を見れば、各辺の長さがどの二つも異なり他の三つの辺の長さの和よりも小さいという条件のもとで、そのような長さの辺を持つ内接四角形は面積が決まれば合同の違いを除いて 三種類しかないことが分かる。具体的に言えば、各辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d であったときに、長さ a の辺と残りの長さ b, c, d の辺のどれとでもよいから入れ替えるならば、面積は同じで、しかも合同にはならない。
内接四角形の面積は、辺の長さが隣り合う順に a, b, c, d で長さ a および b の辺の成す角度が B であるとき
K
=
1
2
(
a
b
+
c
d
)
sin
B
{\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}
:25 。あるいは二本の対角線の成す角度を θ とすれば
K
=
1
2
(
a
c
+
b
d
)
sin
θ
{\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(ac+bd)\sin {\theta }}
:26 。また A が直角でないならば
K
=
1
4
(
a
2
−
b
2
−
c
2
+
d
2
)
tan
A
{\displaystyle K={\tfrac {1}{4}}(a^{2}-b^{2}-c^{2}+d^{2})\tan {A}}
:26 。
もっと別の形では、外半径を R として、
K
=
2
R
2
sin
A
sin
B
sin
θ
{\displaystyle K=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}
[10] :83 。すると直ちに
K
≤
2
R
2
{\displaystyle K\leq 2R^{2}}
内接四角形の頂点が隣り合う順に A, B, C, D a ≔ AB b ≔ BC c ≔ CD d ≔ DA p ≔ AC q ≔ BD
p
=
(
a
c
+
b
d
)
(
a
d
+
b
c
)
a
b
+
c
d
,
q
=
(
a
c
+
b
d
)
(
a
b
+
c
d
)
a
d
+
b
c
{\displaystyle p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}},\quad q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc}}}}
:25 :84 。よって、トレミーの定理
p
q
=
a
c
+
b
d
{\displaystyle pq=ac+bd}
p
q
=
a
d
+
b
c
a
b
+
c
d
{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}}
:25 。
対角線の長さの和に関して不等式
p
+
q
≥
2
a
c
+
b
d
{\displaystyle p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}}
[14] :p.123,#2975 。ここで等号が成り立つための必要十分条件が、二つの対角線の長さが一致することであるということを、相加相乗平均の関係式 を用いて示せる。さらに
(
p
+
q
)
2
≤
(
a
+
c
)
2
+
(
b
+
d
)
2
{\displaystyle (p+q)^{2}\leq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}}
[14] :p.64,#1639 。
任意の凸四角形が二つの対角線によって四つの三角形に分割されるが、内接四角形においてそれら四つの三角形の向かい合う対は互いに相似 になる。
二つの対角線 AC, BD の中点をそれぞれ M, N
M
N
E
F
=
1
2
|
A
C
B
D
−
B
D
A
C
|
{\displaystyle {\frac {MN}{EF}}={\frac {1}{2}}\left|{\frac {AC}{BD}}-{\frac {BD}{AC}}\right|}
[15] E, F □ABCD の二辺 AC BD E で交わるとすると
A
E
C
E
=
A
B
C
B
⋅
A
D
C
D
{\displaystyle {\frac {AE}{CE}}={\frac {AB}{CB}}\cdot {\frac {AD}{CD}}}
[16]
内接四角形を成す辺の集合が一つ与えられれば、それらの並びだけを替えて、外接円と面積を変えることなく、三つの相異なる内接四角形を作ることができる（面積が変わらないことはブラーマグプタの公式からわかる）。そのような内接四角形のどの二つも、ひとつの対角線の長さは共通である:p84 。
内接四角形の辺を隣り合う順に a, b, c, d とし、その半周長を s ≔ (a + b + c + d )/2外接円 の半径 ）R は
R
=
1
4
(
a
b
+
c
d
)
(
a
c
+
b
d
)
(
a
d
+
b
c
)
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
(
s
−
d
)
{\displaystyle R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}}
Parameshvara によって導かれた。
ブラーマグプタの公式 を用いれば、上記の公式は
4
K
R
=
(
a
b
+
c
d
)
(
a
c
+
b
d
)
(
a
d
+
b
c
)
{\displaystyle 4KR={\sqrt {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}}
K はこの内接四角形の面積である。
四角形において、一辺に垂直 で対辺の中点 を通る線分は（「中点からの垂線」の短縮形として）中垂線 （英語版 ） maltitude ) と呼ばれる[19] 一点で交わる :p.131 。このときの共通交点は反中心 (anticenter ) と呼ばれる。反中心は、「頂点重心」の外心 に関する鏡像になっているという特徴を持つ点である。したがって、内接四角形では外心、「頂点重心」、反中心は同一直線上にある 。
内接四角形のふたつの対角線の交点を P とし、対角線の中点をそれぞれ M, N 三角形 △MNP の垂心 に一致する。
丸山良寛の定理 内接四角形 □ABCD において、四つの三角形 △DAB , △ABC , △BCD , △CDA の内心 をそれぞれ M1 , M2 , M3 , M4 日本人の定理 と呼ばれる定理のひとつで、丸山良寛の定理 と呼ばれる。同じ四つの三角形の、こんどは垂心 を考えればそれらを頂点とする四角形は □ABCD に合同であり、また重心 で同様に考えれば別の内接四角形となる[4]
内接四角形 □ABCD の外心を O とし、二つの対角線 AC BD P とするとき、∠APB の角度は ∠AOB ∠COD 算術平均 である。これは円周角の定理 と外角定理 からの直接の帰結である。
面積が有理数で、どの二つも相異なる有理数の長さの辺となるような四角形で、その辺の長さが算術数列 または幾何数列 を成すとき、そのような四角形は共円でない。
内接四角形の辺の長さが算術数列 を成すならば、その四角形は傍接四角形 （英語版 ） 傍双心四角形 （英語版 ）
内接四角形の二組の向かい合う辺を延長して、それらがそれぞれ点 E, F E および F のそれぞれにおいてなす角の二等分線 は直交する。
ブラーマグプタ (Brahmagupta) の四角形とは、辺の長さおよび対角線の長さが全て整数で面積も整数となる内接四角形をいう[23] a, b, c, d , 対角線の長さを e,f とし、面積を K , 外半径を R と書けば、有理数 の範囲を動くパラメータ t, u, v を用いて書ける以下の公式
a
=
[
t
(
u
+
v
)
+
(
1
−
u
v
)
]
[
u
+
v
−
t
(
1
−
u
v
)
]
b
=
(
1
+
u
2
)
(
v
−
t
)
(
1
+
t
v
)
c
=
t
(
1
+
u
2
)
(
1
+
v
2
)
d
=
(
1
+
v
2
)
(
u
−
t
)
(
1
+
t
u
)
e
=
u
(
1
+
t
2
)
(
1
+
v
2
)
f
=
v
(
1
+
t
2
)
(
1
+
u
2
)
K
=
u
v
[
2
t
(
1
−
u
v
)
−
(
u
+
v
)
(
1
−
t
2
)
]
[
2
(
u
+
v
)
t
+
(
1
−
u
v
)
(
1
−
t
2
)
]
4
R
=
(
1
+
u
2
)
(
1
+
v
2
)
(
1
+
t
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}a&=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]\\b&=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)\\c&=t(1+u^{2})(1+v^{2})\\d&=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)\\e&=u(1+t^{2})(1+v^{2})\\f&=v(1+t^{2})(1+u^{2})\\K&=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]\\4R&=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2})\end{aligned}}}
分母を払う （英語版 ）
円に内接する直交対角線四角形において、反中心は対角線の交点となる点に一致する。
ブラーマグプタの定理 の述べるところによれば、内接四角形がさらに対角線直交 であるならば、対角線の交点から任意の辺に下ろした垂線は対辺を二等分する。内接四角形が直交対角線でもあるならば、外心 から任意の辺へ測った距離は対辺の長さの半分に等しい。
円に内接する直交対角線四角形において、二つの対角線それぞれの中点同士の距離は、外心と対角線の交点との距離に等しい。
球面幾何学 において、交わる四つの大円 から形作られる球面四角形が内接四角形となるための必要十分条件は、二組の向かい合う角の和が等しい（つまり、隣り合う順に四つの角度が α, β, γ, δ であるとき、α + γ = β + δ となる）ことである[26] [27] ( Lexell 1786 ) では、球の小円に内接する球面四角形において向かい合う角の和が等しいことおよび外接する球面四角形において向かい合う辺の和が等しいことが示されている。この二つの定理について、前者は平面幾何における同様の定理の球面幾何版であり、後者は前者の双対（つまり大円と極点との役割をいれかえたもの）になっている[28] [29]
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![{\displaystyle {\begin{aligned}a&=[t(u+v)+(1-uv)][u+v-t(1-uv)]\\b&=(1+u^{2})(v-t)(1+tv)\\c&=t(1+u^{2})(1+v^{2})\\d&=(1+v^{2})(u-t)(1+tu)\\e&=u(1+t^{2})(1+v^{2})\\f&=v(1+t^{2})(1+u^{2})\\K&=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^{2})][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^{2})]\\4R&=(1+u^{2})(1+v^{2})(1+t^{2})\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e69092a26a00ae86a1b49767f2aab465ad93479)
