アメーバ (数学)

数学の一分野である複素解析において、アメーバ（英: amoeba）は、一変数、あるいは多変数の多項式に関連した集合である。アメーバは代数幾何学、特に、トロピカル幾何学へ応用を持っている。

集合論のアメーバについては「アメーバ順序（英語版）(amoeba order) 」をご覧ください。

P(z,w)=w-2z-1 のアメーバ

P(z, w)=3z²+5zw+w³+1 のアメーバ。アメーバの中には液胞があることに注意。

P(z, w) = 1 + z+z² + z³ + z²w³ + 10zw + 12z²w +10z²w² のアメーバ

P(z, w)=50 z³ +83 z² w+24 z w² +w³+392 z² +414 z w+50 w² -28 z +59 w-100 のアメーバ

定義

ユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 上に値を持つ 0 を除く複素数 n-組 ${\displaystyle z=(z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})}$ の集合上に定義され、式

${\displaystyle \mathrm {Log} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=(\log |z_{1}|,\log |z_{2}|,\dots ,\log |z_{n}|).\,}$

により与えられる函数

${\displaystyle \mathrm {Log} \colon \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

を考える。ここに 'log' は、自然対数を表す。p(z) が ${\displaystyle n}$ 変数の多項式であれば、そのアメーバ(amoeba) ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$ は p の零点の集合の Log による像として定義される。

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=\left\{\operatorname {Log} z\,:\,z\in \left({\mathbb {C} }\backslash \{0\}\right)^{n},p(z)=0\right\}.\,}$

アメーバは 1994年、イズライル・ゲルファント(Israel Gelfand)、カプラノフ(Kapranov)、アンドレイ・ゼレヴィンスキー（英語版）(Andrei Zelevinsky)の書籍^[1]で導入された。

性質

• アメーバは閉集合である。
• 補空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash {\mathcal {A}}_{p}}$ の連結成分は、凸である^[2]。
• 2変数の恒等的に 0 ではない多項式のアメーバの面積は、有限である。
• 2次元のアメーバは、多くの「触手」を持ち、触手は無限に長く、無限遠点では指数的に狭くなる。

ロンキン函数

アメーバを研究する有効なツールが、ロンキン函数(Ronkin function)である。n （複素）変数の多項式 p(z) に対し、式

${\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int _{\mathrm {Log} ^{-1}(x)}\log |p(z)|\,{\frac {dz_{1}}{z_{1}}}\wedge {\frac {dz_{2}}{z_{2}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {dz_{n}}{z_{n}}},}$

により、ロンキン函数を、

${\displaystyle N_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

と定義する。ここに ${\displaystyle x}$ は ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}).}$ を表す。同じことであるが、${\displaystyle N_{p}}$ は積分

${\displaystyle N_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{[0,2\pi ]^{n}}\log |p(z)|\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n},}$

により与えられる。ここに

${\displaystyle z=\left(e^{x_{1}+i\theta _{1}},e^{x_{2}+i\theta _{2}},\dots ,e^{x_{n}+i\theta _{n}}\right)}$

とする。ロンキン函数は凸函数であり、${\displaystyle p(z)}$ のアメーバの補集合の各々の連結成分上ではアフィン（英語版）(affine)である^[3]。

例として、${\displaystyle a\neq 0}$ である単項式

${\displaystyle p(z)=az_{1}^{k_{1}}z_{2}^{k_{2}}\dots z_{n}^{k_{n}}}$

のロンキン函数は、

${\displaystyle N_{p}(x)=\log |a|+k_{1}x_{1}+k_{2}x_{2}+\cdots +k_{n}x_{n}}$

である。

脚注

1. Gelfand, I. M.; Kapranov, M.M.; Zelevinsky, A.V. (1994). Discriminants, resultants, and multidimensional determinants. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3660-9. Zbl 0827.14036
2. Itenberg et al (2007) p.3
3. Gross, Mark (2004). “Amoebas of complex curves and tropical curves”. In Guest, Martin. UK-Japan winter school 2004—Geometry and analysis towards quantum theory. Lecture notes from the school, University of Durham, Durham, UK, January 6–9, 2004. Seminar on Mathematical Sciences. 30. Yokohama: Keio University, Department of Mathematics. pp. 24-36. Zbl 1083.14061

参考文献

• Itenberg, Ilia; Mikhalkin, Grigory; Shustin, Eugenii (2007). Tropical algebraic geometry. Oberwolfach Seminars. 35. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8309-1. Zbl 1162.14300
• Viro, Oleg (2002), “What Is . . . An Amoeba?”, Notices of the American Mathematical Society 49 (8): 916–917, http://www.ams.org/notices/200208/what-is.pdf

さらに進んだ書籍

• Theobald, Thorsten (2002). “Computing amoebas”. Exp. Math. 11 (4): 513-526. doi:10.1080/10586458.2002.10504703. Zbl 1100.14048. https://eudml.org/doc/52814.

外部リンク

• Amoebas of algebraic varieties