トロピカル幾何学

トロピカル幾何学^[1][2]（英語: Tropical geometry）は南米ではじまった新しい演算規則に関わる幾何学のことで、和を最小値関数（または最大値関数）、積を通常の和に変更したものである。特にアメーバや代数幾何学や超離散との関連が深い。トロピカルという呼称は、ブラジル人数学者・計算機科学者のイムレ・シモン（英語版）に因む。

A tropical cubic curve

定義

${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$ に以下の演算

${\displaystyle x\oplus y=\min\{\,x,y\,\},}$

${\displaystyle x\otimes y=x+y}$

を入れると、∞を零元、0を単位元とする可換な冪等半環となる。${\displaystyle (\mathbb {R} \cup \{\infty \},\oplus ,\otimes )}$ をトロピカル半環（あるいは min-plus 代数）という。（${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$ に最大値関数による和、通常の和による積を入れたものをトロピカル半環ということもある。）

トロピカル半環上の多項式をトロピカル多項式という。トロピカル多項式の和と積は次数ごとに上と同様に定義する。トロピカル多項式は、関数としては区分線形な関数であるが、その関数の可微分でない点をトロピカル多項式の零点という。零点集合はトロピカル超曲面をなす。

参考文献

• Bogart, Tristram; Jensen, Anders; Speyer, David; Sturmfels, Bernd; Thomas, Rehka (2005). "Computing Tropical Varieties". arXiv:math/0507563v1。
• Einsiedler, Manfred; Kapranov, Mikhail; Lind, Douglas (2005). "Non-archimedean amoebas and tropical varieties". arXiv:math/0408311v2。
• Gathmann, Andreas (2006). "Tropical algebraic geometry". arXiv:math/0601322v1。
• Gross, Mark (2011). Tropical geometry and mirror symmetry. Providence, R.I.: Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences by the American Mathematical Society with support from the National Science Foundation. ISBN 978-0-8218-5232-3
• Itenberg, Illia; Grigory Mikhalkin, Eugenii Shustin (2009). Tropical algebraic geometry (2nd ed.). Basel: Birkhäuser Basel. ISBN 9783034600484
• Mikhalkin, Grigory (2006). "Tropical Geometry and its applications". arXiv:math/0601041v2。
• Mikhalkin, Grigory (2004). "Enumerative tropical algebraic geometry in R2". arXiv:math/0312530v4。
• Mikhalkin, Grigory (2004). "Amoebas of algebraic varieties and tropical geometry". arXiv:math/0403015v1。
• Nishinou, Takeo; Siebert, Bernd (2004). "Toric degenerations of toric varieties and tropical curves". arXiv:math/0409060v3。
• Pachter, L.; Sturmfels, Bernd (2004). “Tropical geometry of statistical models”. Proceedings of the National Academy of Sciences 101 (46): 16132–16137. doi:10.1073/pnas.0406010101.
• Speyer, David E. (2003). "The Tropical Grassmannian". arXiv:math/0304218v3。
• Speyer, David; Sturmfels, Bernd (2004). "Tropical Mathematics". arXiv:math/0408099v1。
• Theobald, Thorsten (2003). "First steps in tropical geometry". arXiv:math/0306366v2。
• "Tropical Mathematics", in Algebraic Topology - A Guide to Literature
• D.マクラガン、B.シュツルムフェルズ：「トロピカル幾何学入門」、丸善出版、ISBN 978-4621308769（2023年12月1日）。
  • 原著：Diane Maclagan and Bernd Sturmfels: Introduction to Tropical Geometry, American Mathematical Society (GSM161), ISBN 978-0-8218-5198-2 (2015).
• 小林正典：「トロピカル幾何学の最前線―トロピカル幾何学に親しみ，最近の発展に触れる―」、理大 科学フォーラム 2024、Vol4,pp,20-23．Algebraic Topology - A Guide to Literature

出典・脚注

1. “トロピカル幾何学入門” (PDF). 石川剛郎（北海道大学大学院理学研究院数学部門） (2007年3月). 2021年3月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2014年10月11日閲覧。
2. “トロピカル幾何入門” (PDF). 梶原健（東北大学大学院理学研究科）/記 木村杏子（名古屋大学大学院多元数理科学研究科） (2006年2月16日). 2014年10月11日閲覧。

外部リンク

• Tropical Geometry, I