Distribuzione Gamma

In teoria delle probabilità la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità continua, che comprende, come casi particolari, anche le distribuzioni esponenziale e chi quadrato.

Distribuzione Gamma
Funzione di densità di probabilità
Funzione di ripartizione
Parametri	${\displaystyle k>0\ }$ e ${\displaystyle \theta >0\ }$ oppure ${\displaystyle \alpha >0\ }$ e ${\displaystyle \beta >0\ }$ (${\displaystyle k=\alpha }$, ${\displaystyle \theta \beta =1}$)
Supporto	${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$
Funzione di densità	${\displaystyle {\frac {x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}}$ (con ${\displaystyle \Gamma }$ la funzione Gamma)
Funzione di ripartizione	${\displaystyle P(k,x)={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}}$ (${\displaystyle \gamma }$ è la funzione Gamma incompleta inferiore regolarizzata)
Valore atteso	${\displaystyle k\theta \ }$
Moda	${\displaystyle (k-1)\theta \ }$ se ${\displaystyle k\geq 1}$
Varianza	${\displaystyle k\theta ^{2}\ }$
Indice di asimmetria	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Curtosi	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Entropia	${\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)+(1-k)\psi _{0}(k)}$ (con ${\displaystyle \psi _{0}}$ la funzione digamma)
Funzione generatrice dei momenti	${\displaystyle (1-\theta t)^{-k}\ }$ per ${\displaystyle t<\theta ^{-1}}$
Funzione caratteristica	${\displaystyle (1-i\theta t)^{-k}\ }$

Viene utilizzata come modello generale dei tempi di attesa nella teoria delle code, soprattutto qualora siano importanti effetti che rimuovano "l'assenza di memoria" della distribuzione esponenziale. Nella statistica bayesiana è comune sia come distribuzione a priori che come distribuzione a posteriori.

Definizione

La distribuzione Gamma è la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria definita come la somma di variabili aleatorie indipendenti e con distribuzione esponenziale; la distribuzione Gamma è una distribuzione di probabilità definita sui numeri reali positivi, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$. A seconda degli autori, viene parametrizzata in due modi diversi: sia tramite la coppia di numeri positivi ${\displaystyle (k,\theta )}$, sia tramite la coppia di numeri positivi ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$. Le due parametrizzazioni sono legate dalle relazioni ${\displaystyle \alpha =k}$ e ${\displaystyle \beta =1/\theta }$. Nel seguito si farà riferimento alla parametrizzazione Gamma${\displaystyle (k,\theta )}$.

La sua funzione di densità di probabilità è

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}$,

dove ${\displaystyle \Gamma (k)=\int _{0}^{\infty }t^{k-1}e^{-t}dt}$ è la funzione Gamma di Eulero.

Possiamo osservare che se ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ vale che ${\displaystyle \Gamma (k)=(k-1)!}$

La sua funzione di ripartizione è la funzione gamma incompleta inferiore regolarizzata

${\displaystyle F(x)=P(k,x)={\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}={\frac {\gamma (\alpha ,\beta x)}{\Gamma (\alpha )}}}$,

dove ${\displaystyle \gamma (k,x)=\int _{0}^{x}t^{k-1}e^{-t}dt}$ è la funzione Gamma incompleta inferiore.

Caratteristiche

I momenti semplici della distribuzione Gamma di parametri ${\displaystyle (k,\theta )}$ sono

${\displaystyle \mu _{n}=\mathbb {E} [X^{n}]={\tfrac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{k+n-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}dx}$

${\displaystyle \mu _{n}={\tfrac {\theta ^{k+n-1}}{\theta ^{k-1}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }u^{k+n-1}e^{-u}du=\theta ^{n}{\frac {\Gamma (k+n)}{\Gamma (k)}}=\theta ^{n}\prod _{i=0}^{n-1}(k+i),}$

dove si effettua la solita sostituzione ${\displaystyle {\frac {x}{\theta }}=u}$ per ottenere la rappresentazione integrale della funzione Gamma di Eulero.

In particolare la distribuzione ha:

• valore atteso ${\displaystyle \mathbb {E} [X]=k\theta$ ;}
• varianza ${\displaystyle \mathrm {Var} (X)=k\theta ^{2};}$
• indice di asimmetria ${\displaystyle \gamma _{1}=2\,k^{-{\frac {1}{2}}};}$
• indice di curtosi ${\displaystyle \gamma _{2}=6\,k^{-1}.}$

Funzione generatrice di momenti:

${\displaystyle \mathbb {M} _{X}(t)=\mathbb {E} [e^{tX}]={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }x^{k-1}e^{-x\left({\frac {1}{\theta }}-t\right)}dx={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)({\tfrac {1}{\theta }}-t)^{k}}}\int _{0}^{\infty }u^{k-1}e^{-u}du}$

${\displaystyle \mathbb {M} _{X}(t)=(1-\theta t)^{-k}}$ che esiste per ogni valore di t tale che ${\displaystyle 1-\theta t>0\Rightarrow t<\theta ^{-1}.}$

Proprietà (Teorema del cambiamento di scala)

Se ${\displaystyle X}$ segue la distribuzione Gamma${\displaystyle (k,\theta )}$ allora ${\displaystyle aX}$ segue la distribuzione Gamma${\displaystyle (k,a\theta )}$.

Se ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ sono variabili aleatorie indipendenti, ognuna con distribuzione Gamma${\displaystyle (k_{i},\theta )}$, allora la loro somma ${\displaystyle X_{1}+\ldots +X_{n}}$ segue la distribuzione Gamma${\displaystyle (k_{1}+\ldots +k_{n},\theta )}$.

Altre distribuzioni

La distribuzione Gamma generalizza diverse distribuzioni (è conveniente ora utilizzare la seconda delle due parametrizzazioni presentate):

• se ${\displaystyle k}$ è un numero naturale si ottiene la distribuzione di Erlang;
• ${\displaystyle \mathrm {Gamma} (1,{\theta })={\mathcal {E}}({1/\theta })}$ è la distribuzione esponenziale;
• ${\displaystyle \mathrm {Gamma} ({\tfrac {n}{2}},1/2)=\chi ^{2}(n)}$ è la distribuzione chi quadrato;
• se ${\displaystyle X}$ segue una distribuzione di Maxwell-Boltzmann di parametro ${\displaystyle a}$ allora ${\displaystyle X^{2}}$è distribuito secondo ${\displaystyle \mathrm {Gamma} ({\tfrac {3}{2}},2a^{2})}$.

Nell'inferenza bayesiana la distribuzione Gamma può descrivere sia a priori che a posteriori di un'osservazione il parametro ${\displaystyle X}$ di diverse distribuzioni di probabilità, ad esempio della distribuzione esponenziale e della distribuzione di Poisson.

La distribuzione Gamma inversa è la distribuzione dell'inversa ${\displaystyle X^{-1}}$ di una variabile aleatoria ${\displaystyle X}$ che segue la distribuzione Gamma.

Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ sono variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni ${\displaystyle \mathrm {Gamma} (k_{1},\theta )}$ e ${\displaystyle \mathrm {Gamma} (k_{2},\theta )}$, allora ${\displaystyle Z={\tfrac {X}{X+Y}}}$ segue la distribuzione Beta ${\displaystyle \mathrm {Beta} (k_{1},k_{2})}$, mentre ${\displaystyle {\tfrac {X}{Y}}={\tfrac {Z}{1-Z}}}$ segue una distribuzione Beta del secondo tipo.

Più in generale il vettore ${\displaystyle {\tfrac {1}{X_{1}+\ldots +X_{n}}}(X_{1},\ldots ,X_{n})}$, descritto da ${\displaystyle n}$ variabili aleatorie indipendenti ${\displaystyle X_{i}}$ di distribuzioni ${\displaystyle \mathrm {Gamma} (k_{i},\theta )}$, segue una distribuzione di Dirichlet di parametri ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n})}$.

Una generalizzazione della distribuzione Gamma è la distribuzione di Wishart, che generalizza anche la distribuzione ${\displaystyle \chi ^{2}}$.

Stimatori

Calcoliamo ora degli stimatori che possano, dato un campione presumibilmente Gamma distribuito, restituirci una stima dei suoi parametri ${\displaystyle \theta }$ e ${\displaystyle k}$.

Uno stimatore corretto per ${\displaystyle \theta }$ è

${\displaystyle {\hat {\theta }}={\frac {1}{nk}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$

Stimatore asintoticamente corretto per ${\displaystyle k}$ è:

${\displaystyle {\hat {k}}=\psi _{0}^{-1}\left[\ln \left({\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{\theta }}}}\right)\right]=\psi _{0}^{-1}\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right)\right].}$

dove ${\displaystyle \psi _{0}^{-1}}$ è la funzione inversa della funzione digamma ${\displaystyle \psi _{0}(k)}$ così definita:

${\displaystyle \psi _{0}(x):={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}={\frac {d}{dx}}\ln \Gamma (x).}$

Le dimostrazioni adottano il metodo della massima verosimiglianza, dove la funzione di verosimiglianza dato il campione è

${\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\{X_{i}\}|\theta ,k)={\frac {1}{\theta ^{nk}\Gamma ^{n}(k)}}\,\cdot \,\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k-1}\,e^{-{\frac {1}{\theta }}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}.}$

Dimostrazione stimatore di θ

Il parametro ${\displaystyle \theta }$ è il più semplice da stimare.

Notiamo che la funzione di verosimiglianza è ovunque positiva e nel limite degli estremi di ${\displaystyle \theta }$, si annulla.

${\displaystyle \lim _{\theta \rightarrow 0^{+}}{\mathcal {L}}=0}$

${\displaystyle \lim _{\theta \rightarrow +\infty }{\mathcal {L}}=0}$

Pertanto se imponiamo la sua derivata uguale a zero, nel caso la soluzione sia unica, questa deve per forza essere un punto di massimo.

${\displaystyle \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\right)_{\theta ={\hat {\theta }}}={\frac {e^{-{\frac {1}{\hat {\theta }}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}}{\Gamma ^{n}(k)}}\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{k-1}\,\cdot \left({\hat {\theta }}^{-nk-2}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-nk{\hat {\theta }}^{-nk-1}\right)}$

Occorre adesso eguagliare a zero tale espressione

${\displaystyle \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\right)_{\theta ={\hat {\theta }}}=0\,\Rightarrow \,{\hat {\theta }}^{-nk-2}\sum _{i=1}^{n}x_{i}-nk{\hat {\theta }}^{-nk-1}=0\,\Rightarrow \,{\hat {\theta }}={\frac {1}{nk}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

Ed ecco il nostro stimatore di ${\displaystyle \theta }$, che ricorda molto una media aritmetica, riscalata sul parametro ${\displaystyle k}$ (che ricordiamo essere uguale a 1 nel caso particolare della distribuzione esponenziale). Si può notare facilmente che il valor atteso di questo stimatore è proprio ${\displaystyle \theta }$, data la linearità dell'operatore.

${\displaystyle \mathbb {E} [{\hat {\theta }}]=\mathbb {E} \left[{\frac {1}{kn}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right]={\frac {1}{kn}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} [x_{i}].}$

Ricordiamo ${\displaystyle \mathbb {E} [x_{i}]=k\theta }$

${\displaystyle \mathbb {E} [{\hat {\theta }}]={\frac {nk\theta }{kn}}=\theta .}$

Dimostrazione stimatore di k

Prendiamo ora in esame il calcolo dello stimatore per ${\displaystyle k}$.

Anche qui la funzione di verosimiglianza si annulla per il limite di ${\displaystyle k\rightarrow 0^{+}}$ e ${\displaystyle k\rightarrow +\infty }$, pertanto procediamo con il calcolo della derivata.

${\displaystyle \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial k}}\right)_{k={\hat {k}}}\!\!\!\!\!=e^{-{\frac {1}{\theta }}\sum x_{i}}\left(\prod x_{i}\right)^{{\hat {k}}-1}\left[{\frac {\ln \left(\prod x_{i}\right)}{\theta ^{n{\hat {k}}}\Gamma ^{n}({\hat {k}})}}-n{\frac {\ln(\theta )+\psi _{0}({\hat {k}})}{\theta ^{n{\hat {k}}}\Gamma ^{n}({\hat {k}})}}\right]={\frac {e^{-{\frac {1}{\theta }}\sum x_{i}}\left(\prod x_{i}\right)^{{\hat {k}}-1}}{\theta ^{n{\hat {k}}}\Gamma ^{n}({\hat {k}})}}\left[\ln \left(\prod {\frac {x_{i}}{\theta }}\right)-n\psi _{0}({\hat {k}})\right].}$

Con ${\displaystyle \psi _{0}(k)}$ indichiamo la funzione digamma così definita:

${\displaystyle \psi _{0}(x):={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}={\frac {d}{dx}}\ln \Gamma (x),}$

che può essere espressa mediante una relazione integrale

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-(1+t)^{-x}}{t}}dt.}$

Eguagliando a zero la nostra funzione di verosimiglianza otteniamo il nostro punto di massimo

${\displaystyle \left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial k}}\right)_{k={\hat {k}}}\!\!\!\!\!=0\,\Rightarrow \,\ln \left(\prod {\frac {x_{i}}{\theta }}\right)-n\psi _{0}({\hat {k}})=0\,\Rightarrow \,\psi _{0}({\hat {k}})=\ln \left({\sqrt[{n}]{\prod {\frac {x_{i}}{\theta }}}}\right)}$

La funzione digamma, nei reali positivi è strettamente crescente, per cui esiste la funzione inversa

${\displaystyle {\hat {k}}=\psi _{0}^{-1}\left[\ln \left({\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{\theta }}}}\right)\right]=\psi _{0}^{-1}\left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right)\right].}$

Questo stimatore ottenuto è asintoticamente corretto, ma per valori finiti andrebbe verificato il suo valore atteso che, se risultasse essere ${\displaystyle k}$, allora sarebbe un corretto stimatore.

Calcoliamo quindi

${\displaystyle \mathbb {E} [\psi _{0}({\hat {k}})]=\mathbb {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right)\right]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right)\right]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right){\frac {x_{i}^{k-1}}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}e^{-{\frac {x_{i}}{\theta }}}dx_{i},}$

dove abbiamo usato la linearità del valore atteso e scritto la sua definizione su variabile aleatoria continua.

${\displaystyle \mathbb {E} [\psi _{0}({\hat {k}})]={\frac {1}{n\theta ^{k}\Gamma (k)}}\sum _{i=1}^{n}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {x_{i}}{\theta }}\right)x_{i}^{k-1}e^{-{\frac {x_{i}}{\theta }}}dx_{i}={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {t}{\theta }}\right)t^{k-1}e^{-{\frac {t}{\theta }}}dt}$

Tutti gli integrali nella ${\displaystyle i}$-esima variabile sono uguali tra di loro, quindi la loro somma dà ${\displaystyle n}$ volte il singolo integrale nella generica variabile di integrazione ${\displaystyle t}$.

${\displaystyle \mathbb {E} [\psi _{0}({\hat {k}})]={\frac {1}{\theta ^{k}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }\ln \left({\frac {t}{\theta }}\right)t^{k-1}e^{-{\frac {t}{\theta }}}dt={\frac {\theta ^{k-1}}{\theta ^{k-1}\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }\ln(u)u^{k-1}e^{-u}du={\frac {1}{\Gamma (k)}}\int _{0}^{\infty }u^{k-1}\ln(u)e^{-u}du}$

e il risultato di quest'ultimo integrale è proprio ${\displaystyle \Gamma (k)\psi _{0}(k)}$ per qualunque ${\displaystyle k}$ con parte reale positiva. Abbiamo quindi ottenuto l'identità

${\displaystyle \mathbb {E} [\psi _{0}({\hat {k}})]=\psi _{0}(k),}$

che non è sufficiente a dire che lo stimatore sia corretto (non solo asintoticamente), ma è tuttavia necessario.

In effetti dalla disuguaglianza di Jensen (secondo cui ${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X])\leq \mathbb {E} [\varphi (X)]}$ per una qualunque variabile aleatoria X e una funzione convessa ${\displaystyle \varphi }$) si ottiene un risultato più forte grazie al fatto che la funzione ${\displaystyle \psi _{0}^{-1}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ è convessa su tutto il suo dominio.

Infatti usando la disuguaglianza di Jensen per ${\displaystyle X=\psi _{0}({\hat {k}})}$ e ${\displaystyle \varphi =\psi _{0}^{-1}}$ risulterà

${\displaystyle \psi _{0}^{-1}\left(\mathbb {E} \left[\psi _{0}({\hat {k}})\right]\right)\leq \mathbb {E} \left[\psi _{0}^{-1}\left(\psi _{0}({\hat {k}})\right)\right]=\mathbb {E} [{\hat {k}}].}$

Dall'uguaglianza ottenuta in precedenza il membro di sinistra si semplifica così da avere:

${\displaystyle k\leq \mathbb {E} [{\hat {k}}].}$

Voci correlate

• Funzione Gamma
• Funzione digamma
• Funzione di verosimiglianza
• Distribuzione di Erlang

Altri progetti

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• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su distribuzione Gamma

Collegamenti esterni

• (EN) William L. Hosch, gamma distribution, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Distribuzione Gamma, su MathWorld, Wolfram Research.

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