Trasformazione politropica

Una trasformazione politropica è una trasformazione termodinamica che segue la legge:^[1]

${\displaystyle pV^{n}={\rm {cost.}}}$

dove:

• ${\displaystyle p}$: pressione del fluido
• ${\displaystyle V}$: volume specifico
• ${\displaystyle n}$: esponente caratteristico (o anche numero caratteristico) della politropica.

Tra l'esponente caratteristico della politropica n e il calore specifico c intercorre la relazione ${\displaystyle n=(c_{p}-c)/(c_{v}-c)}$ ove c_p e c_v sono rispettivamente i calori specifici a pressione costante e a volume specifico costante.

La politropica è una legge valida nell'ipotesi di una trasformazione quasistatica valida sia per i gas perfetti che per i gas reali.

Particolari valori dell'esponente caratteristico

Politropiche notevoli sul piano di Clapeyron.

La trasformazione politropica generalizza quattro trasformazioni quasistatiche fondamentali: isoentropica, isobara, isocora, isoterma. In base all'esponente caratteristico n si ottiene:

• ${\displaystyle n=0}$, ${\displaystyle c=c_{p}}$ e la trasformazione è isobara (p=cost)

• ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle \mathrm {d} T=0}$ quindi ${\displaystyle c=\pm \infty }$ e la trasformazione è isoterma (pv=cost)^[2]

• ${\displaystyle n=\pm \infty }$, ${\displaystyle c=c_{v}}$ e la trasformazione è isocora (v=cost)^[3]

• ${\displaystyle n=k}$, ${\displaystyle \delta Q=0}$ quindi ${\displaystyle c=0}$ e la trasformazione è adiabatica e isoentropica ${\displaystyle pV^{k}={\text{cost.}}}$^[4].

Il calore specifico è negativo per ${\displaystyle 1<n<k}$ ovvero per trasformazioni comprese tra l'isoterma e l'adiabatica.

Trasformazione politropica di gas perfetto

Dato un gas a comportamento perfetto vale la relazione pv=RT dove R è la costante specifica dei gas e non quella universale e dipende dal tipo di gas. Componendo questa relazione con quella della politropica si ottengono altre due espressioni della trasformazione politropica valide solo nell'ipotesi di gas perfetto:

• ${\displaystyle TV^{n-1}={\mbox{cost}}}$
• ${\displaystyle Tp^{\frac {1-n}{n}}={\mbox{cost}}}$

Calore specifico

Il calore specifico viene definito come:

${\displaystyle c={\frac {\delta q}{\mathrm {d} T}}}$

dove ${\displaystyle \delta q}$ è il calore per unità di massa e ${\displaystyle \delta }$ indica un differenziale non esatto.

Non è detto che per una trasformazione politropica ${\displaystyle c}$ sia costante, lo è solo nel caso di gas ideale^[5].

Nel caso di gas perfetto sottoposto a trasformazione politropica si può dimostrare^[6] che (con k=cost):

${\displaystyle c=c_{v}\cdot {\frac {n-k}{n-1}}}$

Si noti, tramite la relazione di Mayer, che ${\displaystyle k={\frac {c_{p}}{c_{v}}}=1+{\frac {R}{c_{v}}}}$ e quindi k è maggiore dell'unità.

Lavoro di variazione di volume

Il lavoro specifico si calcola come:

${\displaystyle \int _{1}^{2}p\,\mathrm {d} V=p_{1}V_{1}^{n}\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} V}{V^{n}}}}$

da cui si ottiene:

${\displaystyle L={\begin{cases}\displaystyle {\frac {p_{1}V_{1}}{n-1}}\left[1-\left({\frac {V_{1}}{V_{2}}}\right)^{n-1}\right]&{\mbox{se }}n\neq 1\\[5pt]p_{1}V_{1}\ln \left(\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{1}}}\right)&{\mbox{se }}n=1\end{cases}}}$.

Per ottenere il lavoro totale basta moltiplicare per la massa del sistema. La prima espressione vale per qualsiasi fluido sottoposto a trasformazione politropica, nel caso di gas a comportamento perfetto valgono le seguenti relazioni:

• ${\displaystyle L={\frac {R}{n-1}}(T_{1}-T_{2}){\mbox{ se }}n\neq 1}$
• ${\displaystyle L={\begin{cases}\displaystyle {\frac {RT_{1}}{n-1}}\left[1-\left({\frac {p_{2}}{p_{1}}}\right)^{{n-1} \over n}\right]&{\mbox{se }}n\neq 1\\[5pt]RT_{1}\ln \left(\displaystyle {\frac {p_{1}}{p_{2}}}\right)&{\mbox{se }}n=1\end{cases}}}$.