Trasferimento alla Sternfeld

In astronautica e in ingegneria aerospaziale, il trasferimento alla Sternfeld^[1] ideato nel 1934 è una manovra orbitale biellittica (sfrutta due ellissi di trasferimento) a 3 impulsi, impiegata per passare da un'orbita circolare iniziale di raggio ${\displaystyle r_{i}}$ ad un'orbita circolare finale di raggio ${\displaystyle r_{f}}$. Sebbene il tempo di trasferimento dall'orbita di raggio ${\displaystyle r_{i}}$ all'orbita di raggio ${\displaystyle r_{f}}$ sia maggiore rispetto ad un trasferimento alla Hohmann, 2 impulsi, risulta più conveniente in termini di Δv se il rapporto tra ${\displaystyle r_{f}}$ ed ${\displaystyle r_{i}}$ è maggiore di 11,94. orbita complanare => solamente 2 impulsi.

Un trasferimento alla Sternfeld in cui R' > R (blu-rossa)

Caratteristiche

• La manovra biellittica bitangente è una manovra biellittica in quanto il trasferimento si effettua attraverso due semiellissi: la prima semiellisse di semiasse minore ${\displaystyle a_{1}}$ collega la circonferenza di raggio ${\displaystyle r_{i}}$ alla circonferenza di supporto di raggio ${\displaystyle r_{supp}}$, mentre la seconda semiellisse di semiasse maggiore ${\displaystyle a_{2}}$ collega la circonferenza di supporto all'orbita circolare finale ${\displaystyle r_{f}}$;
• La manovra viene chiamata bitangente in quanto ogni ellisse di trasferimento è tangente a due circonferenze: la prima ellisse è tangente alla circolare iniziale e alla circolare di supporto, mentre la seconda ellisse è tangente a quest'ultima ed alla circolare finale:
• Le coniche sono tutte confocali e complanari al pianeta attrattore, anche se uno dei vantaggi di questo tipo di trasferimento è la possibilità di fare un cambio di piano orbitale nell'apoapside della prima ellisse; in questo modo si riduce il Delta-v necessario al cambio di piano, che dipende dalla distanza dal corpo centrale.

Calcolo del trasferimento

Utilizzando l'equazione di Conservazione dell'energia orbitale specifica

${\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$

dove

• ${\displaystyle v}$ è il modulo della velocità nel punto considerato;
• ${\displaystyle \mu \ }$ è la costante gravitazionale planetaria dell'attrattore;
• ${\displaystyle r}$ è il modulo della distanza dall'attrattore;
• ${\displaystyle a}$ è il semiasse maggiore della conica;

è possibile determinare le varie velocità nei punti di manovra; il Delta-v sarà uguale alla somma delle differenze di velocità (${\displaystyle \Delta \upsilon }$) che nei 3 istanti considerati dovranno essere impressi dalla sonda per il cambio di orbita.

Il primo ${\displaystyle \Delta v}$ è fornito per passare dall'orbita di raggio ${\displaystyle r_{i}}$ all'orbita ellittica di semiasse ${\displaystyle a_{1}}$:

${\displaystyle \Delta v_{A}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{i}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}-{\sqrt {\frac {\mu }{r_{i}}}}}$

Il secondo ${\displaystyle \Delta v}$ è fornito per passare dalla prima ellisse di trasferimento alla seconda ellisse di trasferimento, di semiasse ${\displaystyle a_{2}}$. Si noti che nel punto di applicazione di questo secondo Delta-v la distanza dall'attrattore è pari a ${\displaystyle r_{supp}}$, molto maggiore dei raggi finale e iniziale. Questo punto è l'apoapside della prima orbita di trasferimento.

${\displaystyle \Delta v_{B}={\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{supp}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{supp}}}-{\frac {\mu }{a_{1}}}}}}$

Il terzo ${\displaystyle \Delta v}$ è fornito per circolarizzare l'orbita sulla circonferenza finale di raggio ${\displaystyle r_{f}}$. La variazione impulsiva di velocità è applicata nel periapside della seconda ellisse di trasferimento.

${\displaystyle \Delta v_{C}={\sqrt {\frac {\mu }{r_{f}}}}-{\sqrt {{\frac {2\mu }{r_{f}}}-{\frac {\mu }{a_{2}}}}}}$

Si ricorda che i due semiassi delle ellissi valgono

${\displaystyle a_{1}={\frac {r_{i}+r_{supp}}{2}}}$

${\displaystyle a_{2}={\frac {r_{f}+r_{supp}}{2}}}$

Il costo totale della manovra risulta ${\displaystyle \|\Delta v_{tot}\|\ =\|\Delta v_{A}\|\ +\|\Delta v_{B}\|\ +\|\Delta v_{C}\|\ }$

Tempo di volo

Uno svantaggio è sicuramente il tempo di volo, che risulta molto maggiore di un trasferimento diretto tra ${\displaystyle r_{i}}$ ed ${\displaystyle r_{f}}$ utilizzando un trasferimento alla Hohmann. Infatti il tempo di trasferimento con una manovra biellittica bitangente vale

${\displaystyle t_{tr}=\pi {\sqrt {a_{1}^{3}/\mu }}+\pi {\sqrt {a_{2}^{3}/\mu }}}$

mentre nel caso alla Hohmann risulterebbe

${\displaystyle t_{H}=\pi {\sqrt {a^{3}/\mu }}}$

con

${\displaystyle a={\frac {r_{i}+r_{f}}{2}}}$

Vantaggi rispetto al trasferimento alla Hohmann

Un primo vantaggio è il minore delta-v necessario se il parametro

${\displaystyle b={\frac {r_{f}}{r_{i}}}>11{,}94}$.

Il valore in questione è ottenuto normalizzando i vari ${\displaystyle \Delta v}$ rispetto alla velocità sulla prima circolare ed eguagliando i ${\displaystyle \Delta v}$ totali nei due casi di trasferimento.

Un ulteriore vantaggio è la convenienza a effettuare i dispendiosi cambi di piano orbitale lontano dall'attrattore, ad esempio al secondo impulso della manovra.

Note

1. Sternfeld A., Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée. - Comptes rendus de l'Académie des sciences (Paris), vol. 198, pp. 711 - 713.

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