Topologia iniziale

In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia iniziale su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni definite sull'insieme, anche detta topologia debole, topologia limite o topologia proiettiva, è la topologia meno fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.^[1]

Negli spazi vettoriali topologici, come gli spazi normati, solitamente la topologia iniziale è detta "topologia debole", e si tratta della topologia iniziale rispetto ai funzionali dello spazio duale.

La topologia di sottospazio e la topologia prodotto sono casi speciali di topologie iniziali. La struttura duale alla topologia iniziale è detta topologia finale.

Definizione

Sia dato un insieme ${\displaystyle X}$ ed una famiglia ${\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}$ di spazi topologici. Si consideri una famiglia di funzioni ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ che ha per dominio l'insieme ${\displaystyle X}$. Si definisce topologia iniziale ${\displaystyle \tau }$ su ${\displaystyle X}$ rispetto alla famiglia di funzioni la topologia meno fine tale per cui le funzioni ${\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}}$ sono continue.^[1]

La topologia iniziale può essere vista come la topologia generata dagli insiemi della forma ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$, dove ${\displaystyle U}$ è un insieme aperto di ${\displaystyle Y_{i}}$.

Proprietà

Characteristic property of the initial topology

La topologia iniziale su ${\displaystyle X}$ può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione ${\displaystyle g:Z\to X}$ è continua se e solo se ${\displaystyle f_{i}\circ g}$ è continua per ogni ${\displaystyle i\in I}$.

Per la proprietà della topologia prodotto ogni famiglia di funzioni continue ${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}}$ definisce un'unica mappa:

${\displaystyle f\colon X\to \prod _{i}Y_{i}\,}$

detta in inglese evaluation map. Si dice che una famiglia di funzioni ${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$ separa i punti in ${\displaystyle X}$ se per ogni ${\displaystyle x\neq y\in X}$ esiste un indice i tale che ${\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y)}$. Questo avviene se e solo se ${\displaystyle f}$ è iniettiva. La funzione ${\displaystyle f}$ è un'immersione topologica se e solo se ${\displaystyle X}$ ha la topologia iniziale definita dalle funzioni ${\displaystyle \{f_{i}\}}$, e tale famiglia di mappe separa i punti in ${\displaystyle X}$.

Se in uno spazio ${\displaystyle X}$ è definita una topologia è spesso utile sapere se si tratta della topologia iniziale indotta da qualche famiglia di funzioni su ${\displaystyle X}$. Una famiglia di funzioni ${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$ separa i punti dai chiusi in ${\displaystyle X}$ se per ogni insieme chiuso ${\displaystyle A\subset X}$ e per ogni ${\displaystyle x}$ che non appartiene ad ${\displaystyle A}$ esiste un indice i tale per cui:

${\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}$

dove ${\displaystyle \operatorname {cl} }$ è l'operatore di chiusura.

In particolare, si dimostra che una famiglia di mappe continue ${\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}}$ separa i punti dai chiusi se e solo se gli insiemi ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$, con ${\displaystyle U\subset Y_{i}}$ aperto, formano una base per la topologia su ${\displaystyle X}$. Segue che se ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ separano i punti dai chiusi allora lo spazio ${\displaystyle X}$ ha la topologia iniziale indotta da tali funzioni. La relazione inversa non è valida, poiché in generale gli insiemi ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$ formano una sottobase per la topologia iniziale.

Se ${\displaystyle X}$ è uno spazio T0 allora ogni collezione di mappe ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ che separa i punti dai chiusi in ${\displaystyle X}$ deve anche separare i punti. In tal caso, l'evaluation map è un'immersione.

Topologia debole in spazi vettoriali topologici

Sia ${\displaystyle K}$ un campo topologico, ovvero un campo con una topologia tale per cui l'addizione, la divisione e la moltiplicazione sono funzioni continue (nella definizione topologica di continuità). Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio vettoriale topologico su ${\displaystyle K}$, ovvero uno spazio vettoriale su ${\displaystyle K}$ con una topologia tale per cui la somma vettoriale e la moltiplicazione per scalare sono continue.

Si possono definire diverse topologie su ${\displaystyle X}$ utilizzando lo spazio duale continuo ${\displaystyle X^{*}}$, composto da tutti i funzionali lineari su ${\displaystyle X}$ (a valori in ${\displaystyle K}$) continui rispetto alla topologia data. La topologia debole su ${\displaystyle X}$ è la topologia iniziale rispetto a ${\displaystyle X^{*}}$. Si tratta della topologia più grezza tale per cui ogni funzionale di X^* è una funzione continua.

Note

1. Reed, Simon, Pag. 111.

Bibliografia

• (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
• (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6, (Dover edition).

Voci correlate

• Relazione di finezza
• Topologia
• Topologia di sottospazio
• Topologia finale
• Topologia operatoriale
• Topologia prodotto

Collegamenti esterni

• (EN) initial topology, in PlanetMath.
• (EN) product topology and subspace topology, in PlanetMath.

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