Prebase

In matematica, e più precisamente in topologia, una prebase (o sottobase) è una particolare collezione di aperti di uno spazio topologico che ne determina la topologia. Il concetto è strettamente collegato a quello di base.

Definizione

Una prebase di una topologia ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ per un insieme ${\displaystyle X}$ è una famiglia ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ di insiemi aperti, ovvero ${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {T}}}$, tale che la famiglia delle intersezioni finite di elementi di ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ è una base della topologia di ${\displaystyle X}$^[1], cioè l'insieme ${\displaystyle \left\{X\in {\mathcal {T}}|\exists X_{1},X_{2},...,X_{n}\in S,X=\bigcap _{i=1}^{n}X_{i}\right\}}$ deve essere una base per ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Proprietà

Dato un ricoprimento S di un insieme X è possibile definire una topologia su ${\displaystyle X}$ di cui S è una prebase. La topologia può essere definita in vari modi equivalenti:

• la topologia meno fine fra tutte quelle che contengono ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$,
• la topologia generata dall'insieme ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ delle intersezioni finite degli elementi di ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ (che risulterà una base di tale topologia)
• la topologia i cui aperti sono unioni (di cardinalità arbitraria) di elementi di ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Note

1. Sernesi, E., p. 14.

Bibliografia

• Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
• Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

Voci correlate

• Spazio topologico
• Base

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Prebase, su MathWorld, Wolfram Research.

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