Teorema di Krasnoselskii

In matematica, il teorema di Krasnoselskii è un teorema di punto fisso che prende il nome dal matematico Mark Krasnoselskii. Riguarda l'esistenza di un punto fisso per la funzione data dalla somma di una funzione continua e compatta con una contrazione. Il risultato è stato generalizzato da Edmunds e Reinermann per il caso di una funzione non espansiva e una fortemente continua.

Enunciato di Krasnoselskii

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio di Banach, e ${\displaystyle C}$ un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$ chiuso, convesso e non vuoto.

Siano ${\displaystyle A,B:C\to X}$ funzioni tali che:

• ${\displaystyle B(x)+A(y)\in M\,\forall x,y\in M}$
• ${\displaystyle A}$ è continua e compatta
• ${\displaystyle B}$ è una contrazione con costante di Lipschitz ${\displaystyle \alpha <1}$

allora esiste ${\displaystyle x\in C}$ che sia un punto fisso per ${\displaystyle A+B}$, ovvero che soddisfa ${\displaystyle A(x)+B(x)=x}$.^[1]

Estensione di Edmunds e Reinermann

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio di Banach, e ${\displaystyle C\subset X}$ un sottoinsieme di ${\displaystyle X}$ chiuso, convesso, limitato e non vuoto. Se ${\displaystyle F_{1}:C\to X}$ è una funzione non espansiva e ${\displaystyle F_{2}:C\to X}$ una funzione fortemente continua, allora la somma ${\displaystyle F_{1}+F_{2}:C\to X}$ ha un punto fisso.^[2]

Note

1. Cezar Avramescu - Some remarks on a fixed point theorem of Krasnoselskii
2. Kristine Ry, Christian Potzsche - Asymptotic behavior of recursions via fixed point theory

Bibliografia

• (EN) Smart, D. R., Fixed point theorems, Cambridge Tracts in Mathematics, No. 66, Cambridge University Press, London 1974, ISBN 0-521-29833-4.
• (EN) Zeidler, Eberhard: "Nonlinear functional analysis and its applications. I", Springer-Verlag, New York 1986, ISBN 0-387-90914-1.

Voci correlate

• Punto fisso
• Teoremi di punto fisso

Collegamenti esterni

• (EN) R. Vijayaraju, Fixed point theorems for a sum of two mappings in locally convex spaces (PDF), su emis.de.

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