Teorema della sottobase di Alexander

Il teorema della sottobase (o prebase) di Alexander è un importante risultato di topologia, che fornisce una condizione necessaria per la compattezza di spazi qualsiasi a partire dal comportamento dei ricoprimenti di prebasi

Introduzione

Sia ${\displaystyle (X,\tau )}$ uno spazio topologico e sia ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ una sua base. È noto che ${\displaystyle X}$ è compatto se ogni suo ricoprimento fatto con aperti di ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ammette un sottoricoprimento finito. Il teorema di Alexander estende tale risultato anche per le prebasi. Ricordiamo che una prebase ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ è una collezione di aperti aperti di ${\displaystyle X}$ tale che la famiglia delle intersezioni finite di elementi di ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ sia una base della topologia su ${\displaystyle X}$. Osserviamo che ogni prebase forma un ricoprimento aperto dello spazio

Enunciato formale e dimostrazione[1]

Sia ${\displaystyle (X,\tau )}$ uno spazio topologico e ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ una sua prebase. Se ogni ricoprimento di ${\displaystyle X}$ fatto di elementi ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ammette un sottoricoprimento finito allora ${\displaystyle X}$ è compatto

Procediamo per assurdo: sia ${\displaystyle X}$non compatto e mostriamo che esiste un ricoprimento di ${\displaystyle X}$ fatto con elementi di ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ che non ammette un sottoricoprimento finito. Per maggiore chiarezza suddividiamo la dimostrazione in due passi

Primo passo

Dimostriamo che l'insieme ${\displaystyle Z}$ delle sottofamiglie di ${\displaystyle \tau }$ che ricoprono ${\displaystyle X}$ ma che non ammettono sottoricoprimenti finiti, ordinato con l'inclusione, possiede un elemento massimale ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$. Per l'ipotesi assurda ${\displaystyle Z}$ è sicuramente non vuoto. Mostriamo che ogni catena ammette maggiorante, onde l'esistenza dell'elemento massimale è conseguenza del Lemma di Zorn. Sia allora ${\displaystyle C}$ una catena e facciamo vedere che ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\bigcup _{{\mathcal {A}}\in C}{\mathcal {A}}}$ è un maggiorante di ${\displaystyle C}$: chiaramente, basta solo far vedere che ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ è un elemento di ${\displaystyle Z}$. Se così non fosse, potremmo trovare un sottoricoprimento finito ${\displaystyle \{A_{1},...,A_{n}\}\subset {\mathcal {C}}}$ di ${\displaystyle X}$; inoltre, possiamo scegliere ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1},...,{\mathcal {A}}_{n}\in C}$ tali che ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$ per ogni ${\displaystyle i=1,...,n}$. Dato che ${\displaystyle C}$ è una parte totalmente ordinata di ${\displaystyle Z}$, possiamo supporre che sia ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\max _{1\leq i\leq n}{\mathcal {A}}_{i}}$ e avremmo l'assurdo che ${\displaystyle \{A_{1},...,A_{n}\}\subset {\mathcal {A}}_{1}}$.

Secondo passo

Mostriamo che ${\displaystyle {\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}}$ è un ricoprimento aperto di ${\displaystyle X}$ : così facendo troveremmo un ricoprimento fatto con elementi della prebase che non ammette sottoricoprimenti finiti, essendo ${\displaystyle {\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}\subset {\mathcal {Z}}}$. Per far vedere che ${\displaystyle {\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}}$ è un ricoprimento aperto di ${\displaystyle X}$ bisogna mostrare che per ogni ${\displaystyle x\in X}$ esiste un aperto ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}\cap {\mathcal {Z}}}$ tale che ${\displaystyle x\in P}$. Iniziamo ad osservare che esiste un aperto ${\displaystyle A\in {\mathcal {Z}}}$ tale che ${\displaystyle x\in A}$. D'altra parte, ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ è una prebase di ${\displaystyle X}$ sicché possiamo trovare ${\displaystyle P_{1},...,P_{n}\in {\mathcal {P}}}$ tali che ${\displaystyle x\in \bigcap _{i=1}^{n}P_{i}\subset A}$. Se qualche ${\displaystyle P_{i}\in {\mathcal {Z}}}$ abbiamo finito. Altrimenti per ogni ${\displaystyle i=1,...,n}$ il ricoprimento ${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{i}={\mathcal {Z}}\cup \{P_{i}\}}$ contiene strettamente ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$ e non può appartenere a ${\displaystyle Z}$. Ne discende, per ogni ${\displaystyle i=1,...,n}$, esiste un sottoricoprimento finito ${\displaystyle \{P_{i},A_{i,1},...,A_{i,s_{i}}\}}$ con ${\displaystyle A_{i,j}\in {\mathcal {Z}}}$: si ha poi

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}P_{i}\cup \bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}=\bigcap _{i=1}^{n}P_{i}\cup \bigcap _{i=1}^{n}\bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}=\bigcap _{i=1}^{n}{\bigg (}P_{i}\cup \bigcup _{i=1}^{n}\bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}{\bigg )}\supseteq \bigcap _{i=1}^{n}{\bigg (}P_{i}\cup \bigcup _{j=1}^{s_{i}}A_{i,j}{\bigg )}=\bigcap _{i=1}^{n}X=X}$

Si è così trovato così un sottoricoprimento finito di ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$, che è assurdo.

Note

1. Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.