Spicchio sferico

In geometria, uno spicchio sferico è la porzione di una palla (comunemente detta "sfera"^[1]) delimitata da due semicerchi massimi e da un fuso sferico, definito come base dello spicchio. L'angolo tra i raggi dei due semicerchi è l'angolo diedro corrispondente allo spicchio e, dato un semicerchio che ruota attorno al proprio diametro, lo spicchio sferico viene generato da tale semicerchio che ruota per un'ampiezza pari a tale angolo diedro. Uno spicchio sferico sta quindi alla palla di cui è parte, come il suo angolo diedro sta a un angolo giro e, se tale angolo diedro è uguale a ${\displaystyle \pi }$ radianti o 180°, allora lo spicchio sferico viene definito "semisfera", mentre se l'angolo diedro è uguale a ${\displaystyle 2\pi }$, allora lo spicchio costituisce una palla completa.^[2][3]

Uno spicchio sferico di raggio r e angolo diedro α

Proprietà

Uno spicchio sferico è dotato di due piani di simmetria, uno che divide lo spicchio in due spicchi più piccoli e simmetrici, e uno che divide longitudinalmente lo spicchio generando due semi-spicchi.

Il volume dello spicchio sferico può essere intuitivamente correlato al diametro, e quindi al raggio, del semicerchio che lo genera per rivoluzione, cosicché mentre il volume di una palla di raggio ${\displaystyle r}$ è dato da ${\displaystyle {\frac {4\pi r^{3}}{3}}}$, quello dello spicchio sferico con lo stesso raggio ${\displaystyle r}$ è dato da:

${\displaystyle V={\frac {\alpha }{2\pi }}\cdot {\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {2}{3}}\alpha r^{3}.}$

Utilizzando lo stesso principio e considerando che l'area della superficie di una sfera è data da ${\displaystyle 4\pi r^{2}}$, si può vedere che l'area della superficie del fuso sferico di angolo diedro ${\displaystyle \alpha }$ è data da:

${\displaystyle A={\frac {\alpha }{2\pi }}\cdot 4\pi r^{2}=2\alpha r^{2}.}$

Per cui, aggiungendo l'area dei due semicerchi massimi, si ottiene l'area della superficie dello spicchio sferico di angolo diedro ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle A=2\alpha r^{2}+2{\frac {\pi r^{2}}{2}}=2\alpha r^{2}+{\pi r^{2}}=r^{2}({2\alpha +\pi }).}$

Considerando quindi che il volume di uno spicchio sferico sta al volume di una sfera come l'ampiezza del suo angolo diedro sta a un angolo giro (360°), si può concludere che, se ${\displaystyle V_{\mathrm {w} }}$ è il volume dello spicchio sferico e ${\displaystyle V_{\mathrm {s} }}$ è il volume della sfera, il loro rapporto risulta:

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {w} }}{V_{\mathrm {s} }}}={\frac {\alpha }{2\pi }}.}$

Parimenti, se ${\displaystyle S_{\mathrm {f} }}$ è l'area della superficie del fuso sferico e ${\displaystyle S_{\mathrm {s} }}$ è l'area della superficie della sfera:

${\displaystyle {\frac {S_{\mathrm {f} }}{S_{\mathrm {s} }}}={\frac {\alpha }{2\pi }}.}$

Note

1. Benché spesso, soprattutto quando ci si riferisce a spazi tridimensionali, i termini "sfera" e "palla" siano usati intercambiabilmente per intendere lo stesso solido, in matematica con "sfera" si intende strettamente la superficie sferica che racchiude la "palla".
2. Andrea Pagano e Laura Tedeschini Lalli, La sfera (PDF), Università degli Studi Roma Tre. URL consultato il 10 maggio 2021.
3. Federigo Enriques e Ugo Amaldi, Elementi di geometria, Edizioni Studio Tesi, p. 523. URL consultato il 10 maggio 2021.

Voci correlate

• Calotta sferica
• Settore sferico

Altri progetti

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Spicchio sferico

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Spicchio sferico, su MathWorld, Wolfram Research.

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica