Radiante

Il radiante (generalmente indicato rad quando necessario) è l'unità di misura dell'ampiezza degli angoli del Sistema internazionale di unità di misura. Tale misura rappresenta il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza tracciato dall'angolo e la lunghezza del raggio di tale circonferenza; essendo il rapporto tra due grandezze omogenee, è un numero puro.

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Radiante (astronomia).

Disambiguazione – Se stai cercando unità di misura della dose di radiazione assorbita, vedi Rad (unità di misura).

Un angolo misurato in radianti

Definizione di radiante

Un arco di un cerchio della stessa lunghezza del raggio dello stesso cerchio corrisponde a un angolo di 1 radiante. Un cerchio intero corrisponde a un angolo di 2π radianti.

Alcuni angoli misurati in radianti

Si prenda una circonferenza con centro nel vertice dell'angolo. Siano ${\displaystyle l}$ la lunghezza dell'arco intercettato dall'angolo sulla circonferenza, ${\displaystyle r}$ quella del raggio della circonferenza, ${\displaystyle c}$ quella della circonferenza e ${\displaystyle \alpha }$ l'ampiezza dell'angolo. Il rapporto ${\displaystyle l/r}$ non dipende dalla lunghezza del raggio, ma solo dall'ampiezza dell'angolo. Questa circostanza permette di definire la misura in radianti dell'angolo come:

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}};}$

${\displaystyle l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }.}$

Da ciò si evince che il radiante è un numero puro, ossia è adimensionale, dato che esprime il rapporto fra due lunghezze.

Infatti: [rad] = [L] / [L] = [1].

Definiamo come radiante l'ampiezza dell'angolo che sottende un arco di circonferenza che, rettificato, abbia lunghezza uguale al raggio della circonferenza stessa. In parole povere un radiante è l'angolo che si ha in corrispondenza di un arco di lunghezza pari al raggio della circonferenza.

Essendo la lunghezza della circonferenza ${\displaystyle c}$ pari a ${\displaystyle 2\pi r}$ e il raggio lungo ${\displaystyle r}$, l'angolo di un cerchio equivale a ${\displaystyle 2\pi }$.

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .}$

Ricordando che la misura della lunghezza della circonferenza è:

${\displaystyle c=2\pi r,}$

si può scrivere la seguente proporzione:

${\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},}$

${\displaystyle \alpha }$ risulta funzione di ${\displaystyle l}$:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),}$

ossia

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},}$

da cui

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}.}$

Dunque, ponendo ${\displaystyle l=r}$, dall'equazione precedente si ottiene:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}}$

Esprimiamo ora un angolo giro in radianti:

${\displaystyle 360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}}$

Con la seguente proporzione si ottengono le formule per passare da radianti a gradi sessagesimali e viceversa:

${\displaystyle {\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}}$

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }}$

${\displaystyle \alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.}$

Utilità della scelta del radiante

La misura del radiante consente di avere formule trigonometriche molto più semplici di quelle che si avrebbero adottando i gradi sessagesimali o altre unità di misura degli angoli.

Sostanzialmente i vantaggi del radiante derivano dal fatto che, con tale unità si ottiene la semplice espressione

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$

e da questa si ottengono molte altre eleganti identità del calcolo infinitesimale che hanno importanti conseguenze pratiche. Tra queste

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots }$

Se si misurassero gli angoli in gradi o in altre unità di misura, formule come le precedenti dovrebbero essere appesantite da costanti di conversione e da loro potenze.

Conversione gradi-radianti

Schema per la conversione gradi-radianti

Un radiante è pari a ${\displaystyle 180/\pi }$ gradi. Per convertire radianti in gradi è quindi sufficiente moltiplicare per ${\displaystyle 180/\pi }$:

${\displaystyle \alpha ^{(\circ )}=\alpha ^{(\mathrm {rad} )}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$

Ad esempio:

${\displaystyle 1{\mbox{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57{,}2958^{\circ };}$

${\displaystyle 2{,}5{\mbox{ rad}}=2{,}5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143{,}2394^{\circ };}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}{\mbox{ rad}}={\frac {\pi }{3}}\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}=60^{\circ }.}$

Analogamente, per convertire gradi in radianti si moltiplica per π/180:

${\displaystyle \alpha ^{(\mathrm {rad} )}=\alpha ^{(\circ )}\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}.}$

Ad esempio:

${\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}0175{\text{ rad}};}$

${\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0{,}4014{\text{ rad}}.}$

Gradi Radianti 0 0 15 π /12 30 π /6 45 π /4 60 π /3 90 π /2 120 2/3 π 135 3/4 π 150 5/6 π

Gradi Radianti 180 π 210 7/6 π 225 5/4 π 240 4/3 π 270 3/2 π 300 5/3 π 315 7/4 π 330 11/6 π 360 2π

Si ha quindi:

1 rad = 57,29577 95131 gradi = 3437,74677 07849 primi = 206264,80625 secondi;

1 grado = 0,01745 32925 19943 rad;

1 primo = 0,00029 08882 08666 rad;

1 secondo = 0,00000 48481 36811 rad.

Bibliografia

• G. Zwirner, L. Scaglianti, Itinerari di Matematica Volume primo, Padova, Cedam, 1989, ISBN 88-13-16794-6

Voci correlate

• Grado d'arco
• Grado centesimale
• Angolo
• Pi greco
• Steradiante
• millesimo di radiante

Altri progetti

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• Wikizionario
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Collegamenti esterni

• (EN) radiant / radian, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Radian, su MathWorld, Wolfram Research.

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